Contoh Soal Pembuktian Deret Dengan Induksi Matematika
Pembuktian dalam matematika dikenal salah satunya yaitu dengan induksi. Berbagai pernyataan dalam matematika dapat dibuktikan dengan memakai metode ini. Berikut akan diberikan teladan soal dan pembahasan induksi matematika dala pembuktaian deret bilangan.
Untuk pertanda dengan induksi dipakai 3 langkah. Langkah dalam pembuktian induksi ini yaitu : 1) buktikan untuk n=1 benar, 2) untuk n=k diasumsikan benar dan dibuktikan 3) n= k+1 juga benar.
Contoh Soal 1 Pembuktian Deret dengan Induksi Matematika
Buktikan 1+3+5+7+9... +(2n-1) = n2, n ∈ Bilangan Asli.
Bukti :
1) n=1, (2.1-1) = 12, 1=1 (benar).
2) n= k, 1+3+5+7+9+...+(2k-1)=k2diasumsikan benar.
3) n=k+1, 1+3+5+7+9+...+(2k-1)+ (2(k+1)-1) = (k+1)2
Dari pernyataan di atas, coba perhatikan bab yang diwarnai merah ini, 1+3+5+7+9+...+(2k-1)+ (2(k+1)-1) = (k+1)2 , Nilainya sama dengan bab warna biru pada pernyataan ke dua. Oleh alasannya yaitu itu kita ganti bab warna merah dengan n2 , sehingga diperoleh:
k2 +(2(k+1) -1) = (k+1)2
k2 +2k+2-1 = (k+1)2
k2 +2k+1 = (k+1)2
(k+1)(k+1)= (k+1)2
(k+1)2 = (k+1)2 (Terbukti)
Bukti :
1) n = 1, maka diperoleh 12 = 1/6 1 (1+1) (2.1+1). 1=1 (terbukti).
2) n = k, 12+ 22+ 32+42...+k2 = 1/6 k (k+1) (2k+1), diasumsikan benar.
Bukti :
1) n=1, (2.1-1) = 12, 1=1 (benar).
2) n= k, 1+3+5+7+9+...+(2k-1)=k2diasumsikan benar.
3) n=k+1, 1+3+5+7+9+...+(2k-1)+ (2(k+1)-1) = (k+1)2
Dari pernyataan di atas, coba perhatikan bab yang diwarnai merah ini, 1+3+5+7+9+...+(2k-1)+ (2(k+1)-1) = (k+1)2 , Nilainya sama dengan bab warna biru pada pernyataan ke dua. Oleh alasannya yaitu itu kita ganti bab warna merah dengan n2 , sehingga diperoleh:
k2 +(2(k+1) -1) = (k+1)2
k2 +2k+2-1 = (k+1)2
k2 +2k+1 = (k+1)2
(k+1)(k+1)= (k+1)2
(k+1)2 = (k+1)2 (Terbukti)
Contoh Soal 2, Pembuktian Deret dengan Induksi Matematika
Buktikan : 12+ 22+ 32+42...+n2 = 1/6 n (n+1) (2n+1), n ∈ bilangan asli.
Bukti :
1) n = 1, maka diperoleh 12 = 1/6 1 (1+1) (2.1+1). 1=1 (terbukti).
2) n = k, 12+ 22+ 32+42...+k2 = 1/6 k (k+1) (2k+1), diasumsikan benar.
3) n = k+1, 12+ 22+ 32+42...+k2+(k+1)2 = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1).
12+ 22+ 32+42...+k2+(k+1)2 = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)
1/6 k (k+1) (2k+1)+(k+1)2 = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ...faktorkan (k+1) di kiri.
12+ 22+ 32+42...+k2+(k+1)2 = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)
1/6 k (k+1) (2k+1)+(k+1)2 = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ...faktorkan (k+1) di kiri.
(k+1) [ 1/6 k (2k+1) + (k+1) ] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ... samakan penyebut di kiri.
(k+1) [ 1/6 k (2k+1) + 6/6(k+1) ] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)... faktorkan 1/6 dikiri.
1/6 (k+1) [ k (2k+1) + 6(k+1) ] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ... selesaikan yang didalam kurung siku.
1/6 (k+1) [ 2k2+7k+6] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)... faktorkan yang di kiri.
1/6 (k+1) [ (k+2)(2k+3) ] =1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ... * 2 =1+1,
1/6 (k+1) [ (k+1+1) (2(k+1)+1) ]= 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1). (Terbukti).
Note :
i) Pembuktian hanya boleh dilakukan pada salah satu ruas yang di 'acak acak' , Jangan mengacak ruas kanan dan ruas kiri.
ii) Bentuk Pembuktian lain yaitu fungsi yang habis dibagi, untuk pembuktian ini dapat di baca di : Soal Pembuktian Induksi Matematika habis Dibagi.
Sumber http://www.marthamatika.com/
(k+1) [ 1/6 k (2k+1) + 6/6(k+1) ] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)... faktorkan 1/6 dikiri.
1/6 (k+1) [ k (2k+1) + 6(k+1) ] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ... selesaikan yang didalam kurung siku.
1/6 (k+1) [ 2k2+7k+6] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)... faktorkan yang di kiri.
1/6 (k+1) [ (k+2)(2k+3) ] =1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ... * 2 =1+1,
1/6 (k+1) [ (k+1+1) (2(k+1)+1) ]= 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1). (Terbukti).
Note :
i) Pembuktian hanya boleh dilakukan pada salah satu ruas yang di 'acak acak' , Jangan mengacak ruas kanan dan ruas kiri.
ii) Bentuk Pembuktian lain yaitu fungsi yang habis dibagi, untuk pembuktian ini dapat di baca di : Soal Pembuktian Induksi Matematika habis Dibagi.
Post a Comment for "Contoh Soal Pembuktian Deret Dengan Induksi Matematika"