Kombinatorika - Hukum Perkalian

Sebelum memperkenalkan defenisi hukum perkalian dalam kombinatorika (matematika diskrit) ada baiknya anda perhatikan ilustrasi di bawah ini:
Sebuah event fun-run akan di adakan. Masing masing akseptor akan diberikan nomor akseptor yang terdiri dari 5 digit. 2 digit terakhir akan di isi oleh karakter alphabet. Sementara 3 digit awal akan diisi oleh angka. Berapa banyak kemungkinan seluruh nomor yang sanggup dibuat?

Dalam penyelesaian masalah menyerupai di atas maka dipakai hukum perkalian. Secara matematis, hukum perkalian tersebut sanggup didefenisikan menjadi:
Jika sebuah mekanisme terdiri dari beberapa insiden dan dimisalkan
$n_1$ insiden 1
$n_2$ insiden 2
$n_3$ insiden 3
....
$n_p$ insiden p
Maka seluruh insiden total dalam mekanisme tersebut sanggup dihitung menjadi
$n_1 \times n_2  \times n_3 \times ... \times n_p$.

Perhatikan beberapa pola soal di bawah ini:
Soal 1: Penomoran bangku di auditorium berbentuk satu karakter disambung dengan bilangan lingkaran kasatmata tidak lebih dari 100. Berapa banyak bangku yang sanggup dilabeli secara berbeda?

Jawab: Kursi pada auditorium akan dilabeli dengan ketentuan berbentuk satu karakter disambung dengan bilangan lingkaran kasatmata tidak lebih dari 100. Banyaknya insiden pertama untuk melabeli bangku dengan karakter ada 26 sedangkan pada insiden kedua untuk melabeli bangku dengan angka sebanyak 100 . Sehingga menurut hukum perkalian, banyaknya cara melabeli bangku pada auditorium dengan ketentuan tersebut sanggup dilakukan sebanyak 26 × 100 = 2600 cara. Jadi, banyaknya bangku yang sanggup dilabeli dengan label yang berbeda ada 2600.



Soal 2: Berapa banyak bit string dengan panjang 7 jika
a) tidak ada hukum pada string tersebut
b) bit string diawali oleh substring 1
c) di akhiri oleh substring 11

Jawab:
Catatan: Bit ialah susunan bilangan dengan angka 0 dan 1 saja.
a) $n_1 =n_2=n_3=n_4=n_5=n_6=n_7=2$ Kenapa dua? Karena setiap posisi bit sanggup di isi angka 0 dan 1. Artinya ada dua kemungkinan insiden di sana. Sehingga sesuai hukum perkalian sanggup dihitung:
$n_1 \times n_2  \times n_3 \times ... \times n_p \\ 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^7$.

b) bit awal harus di isi angka 1. Jadi, $n_1 = 1$ sementara untuk bit lainnya bebas alias sanggup di isi oleh angka 0 dan 1.
$n_2=n_3=n_4=n_5=n_6=n_7=2$
Total = $1 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^6$

c) Diakhiri string 11, artinya $n_6 = n_7=1$ Dengan defenisi yang sama akan diperoleh,
$n_1 =n_2=n_3=n_4=n_5=2$
$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 = 2^5$

Soal 3: Berapa banyak fungsi dari himpunan dengan m elemen ke himpunan dengan n elemen?

Jawab:
Sebuah fungsi menghubungkan masing - masing elemen m di domain dengan salah satu n elemen di kodomain. Sehingga berdasarkan
hukum perkalian, ada n×n×…×n sebanyak m kali, sehingga sanggup ditulis $n^m$ fungsi dari himpunan dengan m elemen ke himpunan dengan n elemen. Sampel, banyaknya fungsi dari himpunan dengan 2 elemen ke himpunan dengan 4 elemen ada = 2x2 x2 x2 = $2^4$= 16

Soal 4: Sebuah perusahaan telekomunikasi menyediakan nomor telepon rumah yang terdiri atas 10 digit dengan format YNNN-XXXXXX dimana Y=0, N=2,...,9 dan X=0,...9. Berapakah banyaknya kemungkinan nomor telepon rumah yang tersedia?

Jawab:
$n_Y$ = 1 \\ n_N =8 \\ n_X=10$
Sehingga totalnya,
1x8x8x8x10x10x10x10x10x10 = $8^3 \times 10^6$


Sumber http://www.marthamatika.com/

Share :