Contoh Hubungan Rekurensi: Kelinci Dan Bilangan Fibonacci
Sebelumnya anda harus tahu apa pengertian dan defenisi kekerabatan rekurensi. Pada halaman ini hanya akan diberikan teladan permodelan matematika kekerabatan rekurensi ihwal kelinci dan bilangan fibonacci beserta pembuktiannya.
Kasus:
Permasalahan ini pertama kalinya dipekenalkan oleh Leonardo Pisano yang juga dikenal dengan Fibonacci pada masa ke-13 dalam buku-nya Liber abaci. Permasalahan yang dikemukakan menyerupai berikut,
Misalkan sepasang kelinci muda (beda kelamin) diletakkan dalam sebuah pulau. Sepasang kelinci tersebut tidak berkembang biak hingga berumur 2 bulan. Setelah berumur 2 bulan, setiap bulan masing-masing kelinci melahirkan sepasang kelinci. Temukan kekerabatan rekurensi untuk menyatakan banyaknya pasangan kelinci dalam pulau sehabis n bulan dengan perkiraan sebetulnya tak ada kelinci yang pernah mati.
Solusi dan Pembuktian:
Misal banyak kelinci pada bulan ke-n ialah $k_n$. Akan ditunjukkan $k_n$ dengan $n=1,2,3...$ ialah suku pada barisan Fibonacci.
Jumlah kelinci dapat dibentuk model matematika dalam bentuk kekerabatan rekurensi. Perhatikan,
Bulan pertama = $k_1=1$
Bulan kedua = $k_2= 1$ (bulan kedua kelinci belum berkembang biak).
Dua di atas ialah syarat awal. Kemudian untuk $n\geq 3$
Bulan ketiga =$k_3=2$ Karena dari induk betina akan melahirkan sepasang kelinci.
Bulan ke-empat =$k_4=3$ Karena yang gres lahir belum berkembang biak. Masih induk 'pertama berkembang biak sepasang lagi.
Bulan ke-lima =$k_5=3+(1+1)=3+2=5$. Jumlah kelinci pada bulan ke-empat + 1 anak dari induk pertama + 1 'cucu' dari kelinci pertama.
Bulan ke-lima =$k_6=5+(1+1+1)=5+3=8$. Jumlah kelinci pada bulan ke-lima+ 1 anak dari induk pertama + 1 'cucu' dari kelinci pertama+ 1 cicit dari anak pertama. dst
Dari bentuk di atas dapat tergambar sebetulnya pasangan kelinci bulan ini ialah jumlah pasangan kelinci pada sebelumnya di tambah dengan jumlah kelinci yang gres lahir dengan jumlah kelinci dua bulan sebelumnya. (ingat kelinci pada bulan pertama belum berkembang biak).
Sehingga dalam bentuk umum dapat ditulis:
$k_n=k_{n-1}+k_{n-2}$
dimana
$k_n$ = jumlah kelinci bulan ke-n
$k_{n-1}$= jumlah kelinci bulan sebelumnya
$k_{n-2}$ = jumlah kelinci 2 bulan sebelumnya.
Sehingga diuraikan akan menjadi bilangan fibonacci ke-n. Kaprikornus jumlah kelinci pada bulan ke-n sesuai dengan bilangan fibonacci ke-n. Berikutnya: Contoh Relasi Rekurensi: Menara Hanoi Sumber http://www.marthamatika.com/
Permasalahan ini pertama kalinya dipekenalkan oleh Leonardo Pisano yang juga dikenal dengan Fibonacci pada masa ke-13 dalam buku-nya Liber abaci. Permasalahan yang dikemukakan menyerupai berikut,
Misalkan sepasang kelinci muda (beda kelamin) diletakkan dalam sebuah pulau. Sepasang kelinci tersebut tidak berkembang biak hingga berumur 2 bulan. Setelah berumur 2 bulan, setiap bulan masing-masing kelinci melahirkan sepasang kelinci. Temukan kekerabatan rekurensi untuk menyatakan banyaknya pasangan kelinci dalam pulau sehabis n bulan dengan perkiraan sebetulnya tak ada kelinci yang pernah mati.
Solusi dan Pembuktian:
Misal banyak kelinci pada bulan ke-n ialah $k_n$. Akan ditunjukkan $k_n$ dengan $n=1,2,3...$ ialah suku pada barisan Fibonacci.
Jumlah kelinci dapat dibentuk model matematika dalam bentuk kekerabatan rekurensi. Perhatikan,
Bulan pertama = $k_1=1$
Bulan kedua = $k_2= 1$ (bulan kedua kelinci belum berkembang biak).
Dua di atas ialah syarat awal. Kemudian untuk $n\geq 3$
Bulan ketiga =$k_3=2$ Karena dari induk betina akan melahirkan sepasang kelinci.
Bulan ke-empat =$k_4=3$ Karena yang gres lahir belum berkembang biak. Masih induk 'pertama berkembang biak sepasang lagi.
Bulan ke-lima =$k_5=3+(1+1)=3+2=5$. Jumlah kelinci pada bulan ke-empat + 1 anak dari induk pertama + 1 'cucu' dari kelinci pertama.
Bulan ke-lima =$k_6=5+(1+1+1)=5+3=8$. Jumlah kelinci pada bulan ke-lima+ 1 anak dari induk pertama + 1 'cucu' dari kelinci pertama+ 1 cicit dari anak pertama. dst
Dari bentuk di atas dapat tergambar sebetulnya pasangan kelinci bulan ini ialah jumlah pasangan kelinci pada sebelumnya di tambah dengan jumlah kelinci yang gres lahir dengan jumlah kelinci dua bulan sebelumnya. (ingat kelinci pada bulan pertama belum berkembang biak).
Sehingga dalam bentuk umum dapat ditulis:
$k_n=k_{n-1}+k_{n-2}$
dimana
$k_n$ = jumlah kelinci bulan ke-n
$k_{n-1}$= jumlah kelinci bulan sebelumnya
$k_{n-2}$ = jumlah kelinci 2 bulan sebelumnya.
Sehingga diuraikan akan menjadi bilangan fibonacci ke-n. Kaprikornus jumlah kelinci pada bulan ke-n sesuai dengan bilangan fibonacci ke-n. Berikutnya: Contoh Relasi Rekurensi: Menara Hanoi Sumber http://www.marthamatika.com/
Post a Comment for "Contoh Hubungan Rekurensi: Kelinci Dan Bilangan Fibonacci"