Contoh Soal Dan Pembahasan Turunan Aljabar
Sebelum memahami tumpuan soal dan pembahasan mengenai turunan aljabar ini. Sangat disarankan anda membaca materi dasar dan rumus rumus turunan aljabar.
Soal 1. Tentukanlah turunan :
a). $ y = 3 $
b). $ y = \frac{5}{x^2} $
c). $ y = 3\sqrt{x} $
Pembahasan :
a). Turunan konstanta ialah nol.
$ y = 3 \rightarrow y^\prime = 0 $
b)n=5
$ y = x^5 \rightarrow y^\prime = n.x^{n-1} = 5.x^{5-1} = 5x^4 $
d). Gunakan rumus dasar ii, dan sifat eksponen,
$ y = 3\sqrt{x} = 3x^\frac{1}{2} \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} = \frac{1}{2}. 3. x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \frac{1}{x^\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
Soal 2. Turunan pertama dari fungsi dibawah ini adalah…
a). $ f(x) = 3x^2 - 2x $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 $
Pembahasan :
Untuk penjumlahan, kita cukup menurunkan masing-masing suku.
a). $$ f(x) = 3x^2 - 2x \text {Misal : } \\ U = 3x^2 \rightarrow U^\prime = 2.3.x^{2-1} = 6x \\ V = 2x= 2x = 2x^1 \rightarrow V^\prime = 1.2.x^{1-1} = 2 . x^0 = 2.1 = 2 \\ f(x) = U- V \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime - V^\prime = 6x - 2 $$
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 = 2x^\frac{1}{2} + 5x^3 - 7 $
$ f^\prime (x) = \frac{1}{2} . 2 . x^{\frac{1}{2} - 1 } + 3.5.x^{3-1} - 0 = x^{-\frac{1}{2}} + 15x^2 = \frac{1}{\sqrt{x} } + 15x^2 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 5.x^{5-1} + 3.2.x{3-1} - 3 + 0 = 5x^4 + 6x^2 - 3 $
Soal 3. Tentukanlah Turunan dari $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
Pembahasan :
Gunakan rumus perkalian u.v pada turunan.
a). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
Misalkan :
$ U = (x^2-1) \rightarrow U^\prime = 2x - 0 = 2x $
$ V = (2x^3 + x) \rightarrow V^\prime = 6x^2 + 1 $
Dan turunannya turunannya :
$ y = UV \\ y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime \\ = 2x. (2x^3 + x) + (x^2-1).( 6x^2 + 1) \\ = 4x^4 + 2x^2 + ( 6x^4 + x^2 - 6x^2 - 1 ) \\ = 10x^4 - 3x^2 - 1 $
Soal 4. Tentukan turunan fungsi $ y = \frac{x^2 + 2}{3x - 5} $ ?
Pembahasan :
Disini dipakai rumus turunan $ \frac {u}{v}$
$ U = x^2 + 2 \rightarrow U^\prime = 2x + 0 = 2x $
$ V = 3x - 5 \rightarrow V^\prime = 3 - 0 = 3 $
Sehingga turunannya :
$ y = \frac{U}{V} \\ y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ = \frac{2x . (3x - 5) - (x^2 + 2). 3}{(3x - 5)^2} \\ = \frac{6x^2 - 10x - 3x^2 - 6}{9x^2 -30x + 25} \\ = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} $
Soal 5. Tentukanlah turunan pertama dari $ y = (2x^2 - 3x + 8)^{10} $ ?
Pembahasan :
Pergunakan rumus dasar vii (lihat pada rumus dasar turunan)
Misal : $ g(x) = 2x - 1 \rightarrow g^\prime (x) = 2 - 0 = 2 $
dan :
$ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $
$ y = f[2x-1] \rightarrow y^\prime = f^\prime [ 2x-1] . 2 $
$ y = f(2x-1) \rightarrow y^\prime = 2f^\prime [ 2x-1] $
Ke-2 ruas fungsi diturunkan $ f(2x - 1) = 3x^2 + 2x + 5 $
$ \begin{align} f(2x - 1) & = 3x^2 + 2x + 5 \, \, \, \, \, \text{(turunkan kedua ruas)} \\ 2f^\prime (2x - 1) & = 6x + 2 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ f^\prime (2x - 1) & = 3x + 1 \end{align} $
Supaya didapat nilai $ f^\prime (3) \, $ maka $ f^\prime (2x - 1) = f^\prime (3) \, $
sanggup dibilang $ 2x-1 = 3 \rightarrow 2x = 4 \rightarrow x = 2 $
Nilai x yang harus dimasukkan pada persamaan ialah $ x = 2 \, $ Sehingga, $ \begin{align} x = 2 \rightarrow f^\prime (2x - 1) & = 3x + 1 \\ f^\prime (2.2 - 1) & = 3.2 + 1 \\ f^\prime (4 - 1) & = 6 + 1 \\ f^\prime (3) & = 7 \end{align} $ Sumber http://www.marthamatika.com/
Soal 1. Tentukanlah turunan :
a). $ y = 3 $
b). $ y = \frac{5}{x^2} $
c). $ y = 3\sqrt{x} $
Pembahasan :
a). Turunan konstanta ialah nol.
$ y = 3 \rightarrow y^\prime = 0 $
b)n=5
$ y = x^5 \rightarrow y^\prime = n.x^{n-1} = 5.x^{5-1} = 5x^4 $
d). Gunakan rumus dasar ii, dan sifat eksponen,
$ y = 3\sqrt{x} = 3x^\frac{1}{2} \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} = \frac{1}{2}. 3. x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \frac{1}{x^\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
Soal 2. Turunan pertama dari fungsi dibawah ini adalah…
a). $ f(x) = 3x^2 - 2x $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 $
Pembahasan :
Untuk penjumlahan, kita cukup menurunkan masing-masing suku.
a). $$ f(x) = 3x^2 - 2x \text {Misal : } \\ U = 3x^2 \rightarrow U^\prime = 2.3.x^{2-1} = 6x \\ V = 2x= 2x = 2x^1 \rightarrow V^\prime = 1.2.x^{1-1} = 2 . x^0 = 2.1 = 2 \\ f(x) = U- V \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime - V^\prime = 6x - 2 $$
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 = 2x^\frac{1}{2} + 5x^3 - 7 $
$ f^\prime (x) = \frac{1}{2} . 2 . x^{\frac{1}{2} - 1 } + 3.5.x^{3-1} - 0 = x^{-\frac{1}{2}} + 15x^2 = \frac{1}{\sqrt{x} } + 15x^2 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 5.x^{5-1} + 3.2.x{3-1} - 3 + 0 = 5x^4 + 6x^2 - 3 $
Soal 3. Tentukanlah Turunan dari $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
Pembahasan :
Gunakan rumus perkalian u.v pada turunan.
a). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
Misalkan :
$ U = (x^2-1) \rightarrow U^\prime = 2x - 0 = 2x $
$ V = (2x^3 + x) \rightarrow V^\prime = 6x^2 + 1 $
Dan turunannya turunannya :
$ y = UV \\ y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime \\ = 2x. (2x^3 + x) + (x^2-1).( 6x^2 + 1) \\ = 4x^4 + 2x^2 + ( 6x^4 + x^2 - 6x^2 - 1 ) \\ = 10x^4 - 3x^2 - 1 $
Soal 4. Tentukan turunan fungsi $ y = \frac{x^2 + 2}{3x - 5} $ ?
Pembahasan :
Disini dipakai rumus turunan $ \frac {u}{v}$
$ U = x^2 + 2 \rightarrow U^\prime = 2x + 0 = 2x $
$ V = 3x - 5 \rightarrow V^\prime = 3 - 0 = 3 $
Sehingga turunannya :
$ y = \frac{U}{V} \\ y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ = \frac{2x . (3x - 5) - (x^2 + 2). 3}{(3x - 5)^2} \\ = \frac{6x^2 - 10x - 3x^2 - 6}{9x^2 -30x + 25} \\ = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} $
Soal 5. Tentukanlah turunan pertama dari $ y = (2x^2 - 3x + 8)^{10} $ ?
Pembahasan :
Gunakan rumus turunan rantai.
Misal:
$ g(x) = 2x^2 - 3x + 8 \rightarrow g^\prime (x) = 4x - 3 $
Sehingga turunannya :
$ y = [g(x)]^n = (2x^2 - 3x + 8)^{10} \\ y^\prime = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \\ = 10.(2x^2 - 3x + 8)^{10-1} . (4x - 3) \\ = 10.(4x - 3) . (2x^2 - 3x + 8)^{10-1} \\ = (40x - 30) (2x^2 - 3x + 8)^9 $
Soal 6. Jika Diketahui $ f(2x - 1) = 3x^2 + 2x + 5 \, , $ tentukan nilai $ f^\prime (3) $ ?
Gunakan rumus turunan rantai.
Misal:
$ g(x) = 2x^2 - 3x + 8 \rightarrow g^\prime (x) = 4x - 3 $
Sehingga turunannya :
$ y = [g(x)]^n = (2x^2 - 3x + 8)^{10} \\ y^\prime = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \\ = 10.(2x^2 - 3x + 8)^{10-1} . (4x - 3) \\ = 10.(4x - 3) . (2x^2 - 3x + 8)^{10-1} \\ = (40x - 30) (2x^2 - 3x + 8)^9 $
Soal 6. Jika Diketahui $ f(2x - 1) = 3x^2 + 2x + 5 \, , $ tentukan nilai $ f^\prime (3) $ ?
Pembahasan :
Pergunakan rumus dasar vii (lihat pada rumus dasar turunan)
Misal : $ g(x) = 2x - 1 \rightarrow g^\prime (x) = 2 - 0 = 2 $
dan :
$ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $
$ y = f[2x-1] \rightarrow y^\prime = f^\prime [ 2x-1] . 2 $
$ y = f(2x-1) \rightarrow y^\prime = 2f^\prime [ 2x-1] $
Ke-2 ruas fungsi diturunkan $ f(2x - 1) = 3x^2 + 2x + 5 $
$ \begin{align} f(2x - 1) & = 3x^2 + 2x + 5 \, \, \, \, \, \text{(turunkan kedua ruas)} \\ 2f^\prime (2x - 1) & = 6x + 2 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ f^\prime (2x - 1) & = 3x + 1 \end{align} $
Supaya didapat nilai $ f^\prime (3) \, $ maka $ f^\prime (2x - 1) = f^\prime (3) \, $
sanggup dibilang $ 2x-1 = 3 \rightarrow 2x = 4 \rightarrow x = 2 $
Nilai x yang harus dimasukkan pada persamaan ialah $ x = 2 \, $ Sehingga, $ \begin{align} x = 2 \rightarrow f^\prime (2x - 1) & = 3x + 1 \\ f^\prime (2.2 - 1) & = 3.2 + 1 \\ f^\prime (4 - 1) & = 6 + 1 \\ f^\prime (3) & = 7 \end{align} $
Post a Comment for "Contoh Soal Dan Pembahasan Turunan Aljabar"