Cara Mencari Akar Persamaan Tak Linear Dengan Metode Newton Raphson

Dalam penyelesaian persamaan Tak Linear, sanggup dipakai cara Metode Newton Raphson. Hasil yang diperoleh memang secara numerik, atau hanya mendekati nilai sebenarnya. Tapi, ini masih dalam toleransi galat sehingga kesudahannya sanggup dianggap sangat mendekati.

Lalu mungkin akan jadi pertanyaan bagi Anda. Apa itu persamaan linear? Persamaan linear yaitu persamaan dengan variabel berpangkat tidak sama dengan 1. Pangkatnya sanggup saja lebih dari 1 (contohnya $x^2 , x^3$) atau yang kurang dari 1. Contohnya $x^{ \frac {2}{5}}, x^{\frac {3}{4}}$.

Kegunaan metode Newton Raphson inilah yang dipakai untuk mencari nilai x pada persamaan. Atau kita kenal dengan akar persamaan. Prinsip yang dipakai dalam mencari akar persamaan (penyelesaian) dengan metode Newton Raphson ini adalah,

Pendekatan terhadap f(x) dengan garis singgung pada sebuah nilai awal ($x_0$)
Nilai Taksir berikutnya merupakan titik perpotongan antara garis singgung dengan sumbu x. Perhatikan sebuah grafik di bawah ini,

Grafik Ilustrasi : sumber konsep-matematika.com

Penyelesaian dari grafik di atas yaitu $x_3$. Namun, kita akan melaksanakan dengan pendekatan mengambil $x_0$ sebarang nilai terlebih dahulu. Seterusnya dilakukan metode Newton Raphson dengan langkah,
#1. substitusi $ x_0 $ ke f(x), di sanggup titik singgung A($x_0,f(x_0)$). Lalu dibentuk garis singgung yang melewati titik A (gs 1). Garis tersebut memotong sb X di $ x_1 $.

#2. substitusi $ x_1 $ ke f(x) , di sanggup titik singgung B($x_1,f(x_1)$). Lalu dibentuk garis singgung melalui titik B (gs 2). Garis ini memotong sumbu X di $ x_2 $.

Lakukan ini seterusnya hingga kita mendapat nilai x yang hampir sama.

Dari citra metode Newton Raphson di atas kita sanggup melaksanakan perhitungan tanpa menggambarkan. Caranya sebagai berikut,
Tentukan turunan pertama fungsi
1) Menentukan Nilai $x_0$. Kita pilih nilai sembarang, tetapi disarankan mendekati asumsi akar.
2) Hitung nilai $x_1, x_2, x_3…x_n$ dengan mengunakan rumus, $$ x_{k+1} = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $$ .
3) Lakukan pengulangan / iterasi sampai,

diperoleh nilai $ f(x_k) = 0 \, $ atau
nilai akar-akar taksirannya sudah tetap ($x_{k+1} = x_k$) atau
nilai galat relatif $ x_k \, \leq \, $ toleransi galat $ x \, $ yang diminta. dengan galat relatif $ x_k = \left| \frac{x_k – x_{k-1} }{x_k } \right| $

Contoh Soal Metode Newton Raphson Mencari Akar Persamaan tak Linear

#Soal 1. Hitunglah nilai x yang memenuhi $ x^3 – 2x^2 + 3x – 6=0 \, $
Pembahasan :

Langkah 1:
$$ f(x) = x^3 – 2x^2 + 3x – 6 \\ f^\prime (x) = 3x^2 – 4x + 3 $$

Langkah 2: Pilih nilai $x_0$
Saya menentukan $ x_0 = 3 \, $ Anda sanggup menentukan $x_0$ angka lain yang anda sukai

Langkah 3: Iterasi untuk mencari $x_1, x_2, x_3…$
$ x_0 = 3 \, $ Ingat rumus yang dipakai : $ x_{k+1} = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $ .
iterasi ke-1 untuk $ x_1 $
$$ \begin{align} x_0 = 3 \rightarrow f(x_0) & = f(3) = 3^3 – 2.3^2 + 3.3 – 6 = 12 \\ f^\prime (x_0) & = f^\prime (3) = 3.3^2 – 4.3 + 3 = 18 \\ k = 0 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{0+1} & = x_0 – \frac{f(x_0)}{f^\prime (x_0)} \\ x_{1} & = 3 – \frac{12}{18} \\ x_{1} & = 2,33333333 \end{align} $$
iterasi ke-2 untuk $ x_2 $
$$ \begin{align} x_1 = 2,33333333 \rightarrow f(x_1) & = f(2,33333333) = 2,814814815 \\ f^\prime (x_1) & = f^\prime (2,33333333) = 10 \\ k = 1 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{1+1} & = x_1 – \frac{f(x_1)}{f^\prime (x_1)} \\ x_{2} & = 2,33333333 – \frac{2,814814815}{10} \\ x_{2} & = 2,05185 \end{align} $$
iterasi ke-3 untuk $ x_3 $
$$ \begin{align} x_2 = 2,05185 \rightarrow f(x_2) & = f(2,05185) = 0,373856831 \\ f^\prime (x_2) & = f^\prime (2,05185) = 0,373856831 \\ k = 2 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{2+1} & = x_2 – \frac{f(x_2)}{f^\prime (x_2)} \\ x_{3} & = 2,05185 – \frac{0,373856831}{0,373856831} \\ x_{3} & = 2,00149 \end{align} $$
iterasi ke-4 untuk $ x_4 $
$$ \begin{align} x_3 = 2,00149 \rightarrow f(x_3) & = f(2,00149) = 0,010413554 \\ f^\prime (x_3) & = f^\prime (2,00149) = 7,011897728 \\ k = 3 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{3+1} & = x_3 – \frac{f(x_3)}{f^\prime (x_3)} \\ x_{4} & = 2,00149 – \frac{0,010413554}{7,011897728} \\ x_{4} & = 2 \end{align} $$
iterasi ke-5 untuk $ x_5 $
$$ \begin{align} x_4 = 2 \rightarrow f(x_4) & = f(2) = 0 \end{align} $$
Karena nilai $ f(2) = 0 , \, $ iterasi dihentikan. Jadi, salah satu akar dari persamaan $ x^3 – 2x^2 + 3x – 6 = 0 \, $ yaitu 2. Syarat Iterasi Berhenti ; Pertama.

# Soal 2
Gunakan metode Newton Raphson untuk mencari Nilai x yang memenuhi persamaan $ x^5 + 2x^2 – 4 = 0 \, $ kalau $ x_0 = 1 \, $ dan toleransi galat relatif $ x \, $ yaitu 0,001.
Pembahasan :
Langkah 1: $$ f(x) = x^5 + 2x^2 – 4 \\ f^\prime (x) = 5x^4 + 4x $$
Langkah 2: $ x_0 = 1 \, $ (nilai $ x_0\, $ sudah ditetapkan oleh soal).
Toleransi galat = 0,001. Rumus galat relatif $$ x_k = \left| \frac{x_k – x_{k-1} }{x_k } \right| $$
Langkah 3: $$ x_0 = 1 \, $ dengan rumus : $ x_{k+1} = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $$
iterasi ke-1 untuk $ x_1 $
$$ \begin{align} x_0 = 1 \rightarrow f(x_0) & = f(1) = 1^5 + 2.1^2 – 4 = -2 \\ f^\prime (x_0) & = f^\prime (1) = 5.1^4 + 4.1 = 9 \\ k = 0 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{0+1} & = x_0 – \frac{f(x_0)}{f^\prime (x_0)} \\ x_{1} & = 1 – \frac{-2}{9} \\ x_{1} & = 1,111111 \\ \text{galat } : x_1 & = \left| \frac{x_1 – x_0 }{x_1 } \right| \\ & = \left| \frac{1,111111 – 1 }{1,111111 } \right| \\ & = 0,1 \end{align} $$
Nilai galat $ x_1 = 0,1 \, $ tidak kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi dilanjutkan lagi.

iterasi ke-2 untuk $ x_2 $
$$ \begin{align} x_1 = 1,111111 \rightarrow f(x_1) & = f(1,111111 ) = 0,162644583 \\ f^\prime (x_1) & = f^\prime (1,111111 ) = 12,06523396 \\ k = 1 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{1+1} & = x_1 – \frac{f(x_1)}{f^\prime (x_1)} \\ x_{2} & = 1,111111 – \frac{0,162644583}{12,06523396} \\ x_{2} & = 1,09763 \\ \text{galat } : x_2 & = \left| \frac{x_2 – x_1 }{x_2 } \right| \\ & = \left| \frac{1,09763 – 1,111111 }{1,09763 } \right| \\ & = 0,012281 \end{align} $$
Nilai galat $ x_2 = 0,012281 \, $ tidak kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi dilanjutkan lagi.

iterasi ke-3 untuk $ x_3 $
$ \begin{align} x_2 = 1,09763 \rightarrow f(x_2) & = f(1,09763 ) = 0,002826142 \\ f^\prime (x_2) & = f^\prime (1,09763 ) = 11,64815483 \\ k = 2 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{2+1} & = x_2 – \frac{f(x_2)}{f^\prime (x_2)} \\ x_{3} & = 1,09763 – \frac{0,002826142}{11,64815483} \\ x_{3} & = 1,09739 \\ \text{galat } : x_3 & = \left| \frac{x_3 – x_2 }{x_3 } \right| \\ & = \left| \frac{1,09739 – 1,09763 }{1,09739 } \right| \\ & = 0,000221 \end{align} $
Karena nilai galat $ x_3 = 0,000221 \, $ kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi final alasannya yaitu memenuhi syarat berhenti literasi ke-3. Jadi, nilai x yang memenuhi yaitu 1,09739. Baca juga: Contoh Cara Menghitung Akar Bilangan dengan Metode Newton Raphson
Sumber http://www.marthamatika.com/