Rumus Dan Sifat Perkalian Titik (Dot Product) 2 Vektor Beserta Teladan Soal Dan Pembahasan

Definisi dan Rumus Perkalian Titik Dua Vektor

Selain perkalian vektor dengan skalar, vektor juga sanggup dikalikan dengan vektor yang lainnya. Ada dua jenis perkalian antara vektor dengan vektor, yaitu perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross product). Nah dalam artikel kali ini kita akan mengulas terkena perkalian titik dua buah vektor. Apa yang dimaksud dengan perkalian titik? Bagimana dengan rumus dan sifat-sifatnya? Untuk sanggup memahami perkalian titik, perhatikan gambar diberikut ini.

Perkalian titik atau dot product dua buah vektor didefinisikan sebagai perkalian antara besar salah satu vektor (misalA) dengan komponen vektor kedua (B) pada arah vektor pertama (A). Pada gambar di atas, komponen vektor B pada arah vektor A adalah B cos α. Dari pengertian perkalian titik tersebut, maka rumus atau persamaan perkalian titik antara vektor A dan vektor B dapat dituliskan sebagai diberikut.

		A . B = AB cos α = \|A\|\|B\| cos α

Keterangan:
α	= sudut yang dibuat oleh vektor A dan B dengan 0o ≤ α ≤ 180o
A	= \|A\| besar vektor A
B	= \|B\| besar vektor B

Dari persamaan perkalian titik di atas maka sanggup disimpulkan bahwa hasil perkalian titik dua buah vektor yaitu skalar. Simbol dari perkalian titik yaitu “.” (baca: dot). Karena hasil perkalian titik yaitu skalar maka perkalian titik atau dot product disebut juga dengan perkalian skalar atau skalar product. Dalam perkalian titik ada tiga poin penting yang perlu kalian perhatikan.

1.	Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus (𝛼 = 90o) maka
	A . B = 0 → cos 90o = 0
2.	Jika kedua vektor A dan B searah (𝛼 = 0o) maka
	A . B = AB → cos 0o = 1
3.	Jika kedua vektor A dan B berlawanan searah (𝛼 = 180o) maka
	A . B = - AB → cos 180o = -1

Perkalian Titik Pada Vektor Satuan

Vektor satuan yaitu vektor ruang yang sudah diuraikan ke dalam sumbu X(i),Y(j) dan Z(k) yang besarnya satu satuan. Perhatikan gambar di atas. vektor satuan i, j, dan k ialah vektor yang saling tegak lurus satu sama lain dengan kata lain besar α = 90o karena nilai ketiga vektor tersebut yaitu 1, maka hasil perkalian titik pada vektor satuan tersebut yaitu sebagai diberikut:

i . i = j . j = k . k = 1.1 cos 0o = 1 (berhimpit)

i . j = i . k = j . k = 1.1 cos 90o = 0 (tegak lurus)

melaluiataubersamaini memakai hasil perkalian titik pada vektor satuan di atas, kita sanggup mencari hasil perkalian titik suatu vektor yang ditetapkan dalam vektor satuan. misalkan terdapat dua vektor diberikut ini:

A = Axi + Ayj + Azk

B = Bxi + Byj + Bzk

Hasil perkalian titik antara vektor A dan B adalah sebagai diberikut:

A . B	=	(Axi + Ayj + Azk) . (Bxi + Byj + Bzk)
A . B	=	Axi . Bxi + Axi .Byj + Axi . Bzk + Ayj . Bxi + Ayj .Byj + Ayj . Bzk +Azk . Bxi + Azk .Byj + Azk . Bzk
		→ alasannya yaitu i . j = i . k = j . k = 1.1 cos 90o = 0 maka
A . B	=	Axi . Bxi + 0 + 0 + 0 + Ayj .Byj + 0 + 0 + 0 + Azk . Bzk
A . B	=	Axi . Bxi + Ayj . Byj + Azk . Bzk
		→ alasannya yaitu i . i = j . j = k . k = 1.1 cos 0o = 1 maka
A . B	=	AxBx + AyBy + AzBz

melaluiataubersamaini demikian sanggup disimpulkan bahwa hasil perkalian titik antara dua vektor satuan dalam sistem koordinat tiga dimensi (x,y,z) adalah sebagai diberikut:

A	=	Axi + Ayj + Azk
B	=	Bxi + Byj + Bzk

Maka

A . B

AxBx + AyBy + AzBz

Sifat-Sifat Perkalian Titik Vektor

Jika A, B dan C yaitu sembarang vektor dan k ∈ R yaitu skalar, maka sifat perkalian titik antara vektor vektor tersebut yaitu sebagai diberikut.

Perkalian titik mempunyai sifat komutatif, yaitu

A . B = B . A

Perkalian titik mempunyai sifat asosiatif, yaitu

(kA) . B = k(A . B) = A . (kB)

Dan terakhir, perkalian titik mempunyai sifat distributif, yaiut

A . (B + C) = A . B + A . C

misal Soal Perkalian Titik Dua Vektor dan Pembahasan

Untuk lebih memahami penerapan rumus perkalian titik dua buah vektor, silahkan kalian pahami beberapa pola soal perkalian titik dua buah vektor beserta pembahasannya diberikut ini.

misal Soal #1

Sebuah balok berada pada bidang datar licin ditarik oleh gaya F sebesar 200 N dengan arah membentuk sudut 60° terhadap arah horisontal. Pada ketika balok berpindah 8 m, tentukan perjuangan yang dilakukan oleh gaya F tersebut.

Penyelesaian:

Usaha sanggup didefinisikan sebagai perkalian titik antara gaya yang bekerja selama perpindahannya. Berarti sanggup diperoleh:

W = F . s

W = F . s cos θ

W = F s cos θ

W = 200 N . 8 m . cos 60°

W = 200 N . 8 m . ½

W = 800 Nm

Jadi, perjuangan yang dilakukan oleh gaya pada balok di tersebut yaitu 800 joule ( 1 Nm = 1 joule)

misal Soal #2

Tentukan hasil perkalian titik antara dua vektor satuan diberikut ini.

A = 3i + 4j + 6k

B = 8i + 5j – 8k

Penyelesaian:

A . B = AxBx + AyBy + AzBz

A . B = 3 . 8 + 4 . 5 + 6 . (– 8)

A . B = 24 + 20 – 48

A . B = – 4

misal Soal #3

Diketahui vektor A = 2i + 5j + 3k dan B = i + 2j – 3k. Tentukan sudut yang dibuat antara kedua vektor tersebut.

penyelesaian

rumus perkalian titik antara vektor A dan B yaitu sebagai diberikut :

A . B = |A|.|B| cos α

Pertama kita tentukan besar masing-masing vektor satuan tersebut

|A| = √(22 + 52 + 32)

|A| = √38

|B| = √(12 + 22 + -32)

|B| = √14

Kedua kita tentukan besar perkalian titik vektor satuannya sebagai diberikut

A . B = AxBx + AyBy + AzBz

A . B = 2 . 1 + 5 . 2 + 3 . (– 3)

A . B = 2 + 10 – 9

A . B = 3

Kemudian kita kembali ke rumus perkalian titik sebelumnya

A . B	= \|A\|.\|B\| cos α
3	= (√38)( √14) cos α
3	= √532 cos α
3	= 23,07 cos α
cos α	= 3/23,07
cos α	= 0,13
α	≈ 82,53o

melaluiataubersamaini demikian sudut yang dibuat antara vektor A dan vektor B adalah 83o.

Demikianlah artikel ihwal pengertian, rumus dan sifat perkalian titik (dot product) dua vektor beserta pola soal cara memilih hasil perkalian titik dan sudut antara dua vektor satuan. Semoga sanggup bermanfaa untuk Anda. Terimakasih atas kunjungannya dan hingga jumpa di artikel diberikutnya.

Sumber https://www.fisikabc.com/