Cara Menuntaskan Integral Fungsi Mutlak
Salah satu bentuk permasalahan yang akan ditemui dalam integral yakni integral fungsi nilai mutlak. Pada halaman ini akan aku berikan bagaimana memilih integral fungsi mutlak tersebut. Untuk notasi yang dipakai sama saja dengan nilai mutlak dimana fungsi diapit oleh dua garis lurus ibarat berikut. |f(x)|.
Sumber http://www.marthamatika.com/
Defenisi Fungsi Mutlak
Sebelum lebih mendalam pada integral, sedikit akan aku ingatkan perihal pengertian atau defenisi fungsi nilai mutlak. Secara matematis, sebuah fungsi nilai mutlak sanggup ditulis defenisinya sebagai berikut,
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , f(x) < 0 \end{array} \right. $
Dalam penulisan lain, fungsi nilai mutlak sanggup ditulis juga,
$ |f(x)| = \sqrt{(f(x))^2} \, $ dengan catatan anda dihentikan menyederhanakan menjadi f(x).
Mengenai syarat atau defenisi di atas, sanggup dilihat aplikasinya pada pola di bawah ini,
Contoh 1. $ | 2x + 5| $
Positif ketika : $ 2x + 5 \geq 0 \rightarrow x \geq -\frac{5}{2} $,
negatif ketika : $ 2x + 5 < 0 \rightarrow x < -\frac{5}{2} $,
Sesuai defenisi fungsi mutlak maka, $ | 2x + 5 | \, $ sanggup ditulis:
$ | 2x + 5 | = \left\{ \begin{array}{cc} 2x + 5 & , x \geq -\frac{5}{2} \\ -(2x + 5 ) & , x < -\frac{5}{2} \end{array} \right. $
Contoh 2. $ |x^2 - x - 6 | $
Positif saat: $ x^2 - x - 6 \geq 0 \rightarrow (x+2)(x-3) \geq 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 3 $,
sehingga syarat positifnya yakni $ x \leq -2 \vee x \geq 3 $
negatif saat: $ x^2 - x - 6 < 0 \rightarrow -2 < x < 3 $,
Sehingga sanggup ditulis $ | x^2 - x - 6 | \, $ tanpa mutlak,
$ | x^2 - x - 6 | = \left\{ \begin{array}{cc} x^2 - x - 6 & , x \leq -2 \vee x \geq 3 \\ -(x^2 - x - 6 ) & , -2 < x < 3 \end{array} \right. $
Integral Fungsi Mutlak
Defenisi matematis fungsi mutlak sanggup dijelaskan sebagai berikut,
Asumsikan |f(x)|, ingin diintegralkan dalam batas $ a \leq b \leq c \, $ maka sanggup diselesaikan dalam bentuk:
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , x \geq b \\ -f(x) & , x < b \end{array} \right. $
Atau sanggup dihitung sebagai berikut,
$ \int \limits_a^c \, |f(x)| \, dx = \int \limits_a^b \, f(x) \, dx + \int \limits_b^c \, -f(x) \, dx $
Contoh Soal, Pembahasan Integral Fungsi Nilai Mutlak
Soal 1. $ \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx $
Soal 2. $ \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx $
Jawab
$ |x^2 - x - 6 | = (x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ x \leq -2 \vee x \geq 3 , \, $ atau
$ |x^2 - x - 6 | = -(x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ -2 < x < 3 , \, $
Hasil Integral:
Sebab diminta pada interval -3 hingga 5, maka menurut bentuk nilai mutlak harus dibagi interval tersebut menjadi $ -3 < x < -2, \, -2 < x < 3 , \, $ dan $ 3 < x < 5 $.
$ |2x + 5| = (2x + 5) $
$ \begin{align} \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx & = \int \limits_{-3}^{-2} |x^2 - x - 6 | dx + \int \limits_{-2}^3 |x^2 - x - 6 | dx + \int \limits_{3}^5 |x^2 - x - 6 | dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-2} (x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{-2}^3 -(x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{3}^5 (x^2 - x - 6 ) dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-2} (x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{-2}^3 (-x^2 + x + 6 ) dx + \int \limits_{3}^5 (x^2 - x - 6 ) dx \end{align} $
Silakan dilanjutkan menghitung 3 kepingan tersebut secara integral biasa.
Soal 3. Hitunglah Nilai a, kalau $ \int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx =a$ ?
Jawab:
Mutlak hanya berada pada $ |x| \, $ , maka diubah bentuk $ |x| \, $ sesuai definisi harga mutlak:
$ | x | = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
$ |x| \, $ terdefenisi sebagai berikut,
$ |x| = x \, $ untuk batas $ x \geq 0 , \, $ atau
$ |x| = -x \, $ untuk batas $ x < 0 $
Maka keseluruhan fungsi $ 3x^2 - 2|x| + 5 \, $ akan jadi,
$ 3x^2 - 2|x| + 5 = 3x^2 - 2(x) + 5 = 3x^2 - 2x + 5 \, $ untuk batas $ x \geq 0 , \, $ atau
$ 3x^2 - 2|x| + 5 = 3x^2 - 2(-x) + 5 = 3x^2 + 2x + 5 \, $ untuk batas $ x < 0 $
Hasil Integral
$ \begin{align} \int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx & = \int \limits_{-1}^0 3x^2 - 2|x| + 5 dx + \int \limits_{0}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx \\ & = \int \limits_{-1}^0 3x^2 + 2x + 5 dx + \int \limits_{0}^2 3x^2 - 2x + 5 dx \\ & = [x^3 + x^2 + 5x]_{-1}^0 + [x^3 - x^2 + 5x]_{0}^2 \\ & = [(0^3 + 0^2 + 5.0) - ((-1)^3 + (-1)^2 + 5.(-1))] \\ & + [(2^3 - 2^2 + 5.2) - (0^3 - 0^2 + 5.0)] \\ & = [(0) - (-5)] + [(14) - ( 0)] \\ & = 5 + 14 \\ & = 19 \end{align} $
Maka diperolehlah $\int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx =a= 19 $.
Sumber Soal: (http://freemathlearn.tk)
Jawab:
$ |2x + 5| = (2x + 5) \, $ untuk batas $ x \geq -\frac{5}{2} , \, $ atau
$ |2x + 5| = -(2x + 5) \, $ untuk batas $ x < -\frac{5}{2} , \, $
Hasil Integral :
Batas Integral [0,2] $ x \geq -\frac{5}{2} , \, $ maka yang diintegralkan hanya kepingan faktual saja : $ |2x + 5| = (2x + 5) $
$ \begin{align} \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx & = \int \limits_0^2 ( 2x + 5) dx \\ & = [ x^2 + 5x]_0^2 \\ & = [ (2^2 + 5.2) - (0^2 + 5.0)] \\ & = [ (14) - ( 0)] \\ & = 14 \end{align} $
Diperoleh Hasil final $ \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx = 14 $.
Soal 2. $ \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx $
Jawab
$ |x^2 - x - 6 | = (x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ x \leq -2 \vee x \geq 3 , \, $ atau
$ |x^2 - x - 6 | = -(x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ -2 < x < 3 , \, $
Hasil Integral:
Sebab diminta pada interval -3 hingga 5, maka menurut bentuk nilai mutlak harus dibagi interval tersebut menjadi $ -3 < x < -2, \, -2 < x < 3 , \, $ dan $ 3 < x < 5 $.
$ |2x + 5| = (2x + 5) $
$ \begin{align} \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx & = \int \limits_{-3}^{-2} |x^2 - x - 6 | dx + \int \limits_{-2}^3 |x^2 - x - 6 | dx + \int \limits_{3}^5 |x^2 - x - 6 | dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-2} (x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{-2}^3 -(x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{3}^5 (x^2 - x - 6 ) dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-2} (x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{-2}^3 (-x^2 + x + 6 ) dx + \int \limits_{3}^5 (x^2 - x - 6 ) dx \end{align} $
Silakan dilanjutkan menghitung 3 kepingan tersebut secara integral biasa.
Soal 3. Hitunglah Nilai a, kalau $ \int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx =a$ ?
Jawab:
Mutlak hanya berada pada $ |x| \, $ , maka diubah bentuk $ |x| \, $ sesuai definisi harga mutlak:
$ | x | = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
$ |x| \, $ terdefenisi sebagai berikut,
$ |x| = x \, $ untuk batas $ x \geq 0 , \, $ atau
$ |x| = -x \, $ untuk batas $ x < 0 $
Maka keseluruhan fungsi $ 3x^2 - 2|x| + 5 \, $ akan jadi,
$ 3x^2 - 2|x| + 5 = 3x^2 - 2(x) + 5 = 3x^2 - 2x + 5 \, $ untuk batas $ x \geq 0 , \, $ atau
$ 3x^2 - 2|x| + 5 = 3x^2 - 2(-x) + 5 = 3x^2 + 2x + 5 \, $ untuk batas $ x < 0 $
Hasil Integral
$ \begin{align} \int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx & = \int \limits_{-1}^0 3x^2 - 2|x| + 5 dx + \int \limits_{0}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx \\ & = \int \limits_{-1}^0 3x^2 + 2x + 5 dx + \int \limits_{0}^2 3x^2 - 2x + 5 dx \\ & = [x^3 + x^2 + 5x]_{-1}^0 + [x^3 - x^2 + 5x]_{0}^2 \\ & = [(0^3 + 0^2 + 5.0) - ((-1)^3 + (-1)^2 + 5.(-1))] \\ & + [(2^3 - 2^2 + 5.2) - (0^3 - 0^2 + 5.0)] \\ & = [(0) - (-5)] + [(14) - ( 0)] \\ & = 5 + 14 \\ & = 19 \end{align} $
Maka diperolehlah $\int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx =a= 19 $.
Sumber Soal: (http://freemathlearn.tk)
Post a Comment for "Cara Menuntaskan Integral Fungsi Mutlak"