Contoh Soal Dan Pembahasan Proyeksi Vektor
Di halaman ini akan diberikan beberapa pola soal dan pembahasan perihal proyeksi vektor. Soal ini berupa soal hitungan yang mengambil sub topik panjang proyeksi/proyeksi skalar dan proyeksi ortogonal dari sebuah vektor pada vektor lain.
Adapun rumus proyeksi vektor yang harus diingat adalah..
Misalkan vektor c adalah hasil proyeksi vektor a pada vektor b, maka
$$|\vec {c}| = \frac {\vec a .\vec b}{|\vec b|} \\ \vec {c} = \frac {\vec a .\vec b}{|\vec b|^2} .\vec b$$ Selanjutnya mari kita lihat pola soal dan pembahasan perihal panjang proyeksi dan proyeksi ortogonal vektor (soal diambil dari soal-soal SBMPTN dan Soal UN). Selain itu anda juga harus sanggup melakukan perkalian dot vektor.
#Soal 1. Diketahui a (-2,3,4) dan b (x,0,3). Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 4/5. Maka salah satu nilai x yang memenuhi adalah...
a) -4 b) -4 c) 2 d) 4 e) 6
Pembahasan: $$\vec a(-2,3,4) \, \, \, \vec b (x,0,3) \\ |\vec {c}| = \frac {\vec a .\vec b}{|\vec b|} \\ \frac {4}{5}=\frac {(-2,3,4) .(x,0,3)}{\sqrt {x^2+0^2+3^2}} \\ \frac {4}{5}=\frac {-2x+3.0+3.4}{\sqrt {x^2+9}} \\ 4 \sqrt {x^2+9}=5.(-2x+12) \\ \text {kuadratkan ke-2 ruas} \\ 21x^2-300x+864=0 \\ x=4 \, \cup \, x=10,2$$
#Soal 2. Proyeksi vektor u=6i+4j-5k pada v=-2i+j+2k adalah...
a) -4i+2j+4k
b) -2i-j-2k
c) -2/3 i -1/3 j- 2/3 k
d) -2/3 i +1/3 j+2/3 k
e) 4i-2j-4k
Pembahasan:
u(6,4,-5) dan v (-2,1,2) $$\vec {c} = \frac {\vec u .\vec v}{|\vec u|^2} .\vec v \\ \vec {c} = \frac {(6,4,-5) .(-2,1,2)}{(\sqrt {(-2)^2+1^2+2^2})^2} (-2,1,2) \\ \vec c= \frac {-12+4-10}{9} (-2,1,2) \\ \vec c= -2(-2,1,2) \\ \vec c= (4,-2,-4) \\ \vec c = 4i-2j-4k$$
#Soal 3. Diketahui a (4,-12,-6) dan b (4,2,-4). Jika vektor c adalah proyeksi ortogonal a pada b. Jika vektor d (2,1,x) memiliki panjang dengan vektor c. Maka panjang x adalah...
$a) \frac {1}{3} \sqrt {3} \\ b) \frac {1}{3} \sqrt {17} \\ c) \frac {1}{3} \sqrt {19} \\ d) \frac {1}{3} \sqrt {23} \\ e) \frac {1}{3} \sqrt {29}$
Pembahasan:
Dengan menghitung panjang proyeksi a pada b maka didapat panjangnya 8/3.
$|c|=|d| \\ \frac {8}{3} = \sqrt {2^2+1^2+x^2} \\ \frac {8}{3} = \sqrt {5+x^2} \\ \frac {64}{9} = 5+x^2 \\ x^2=\frac {64}{9} -5 \\ x= \frac {1}{3} \sqrt {19}$
#Soal 4. Diketahui
$\vec a = 2i+xj-3k \\ \vec b= 4i+2j-4k$ Jika proyeksi a pada b
$\vec c= \frac {8}{9}i+\frac {4}{9}j-\frac {8}{9}k \\ \text {maka nilai k=...} $
a) -6 b) -3 c) 3 d) 6 e) 8
Pembahasan:
a (2,x,-3) ; b (4,2,-4) c( 8/9, 4/9, -8/9)
$\vec {c} = \frac {\vec a .\vec b}{|\vec b|^2} .\vec b \\ ( \frac {8}{9}, \frac {4}{9}, -\frac {8}{9})=\frac {(2,x,-3) .(4,2,-4)}{(\sqrt {4^2+2^2+(-4)^2})^2} .(4,2,-4) \\ \frac {2}{9} (4,2,-4)= \frac {8+2x+12}{6} .(4,2,-4) \\ \frac {2}{9} = \frac {8+2x+12}{6} \\ x=-6 $
Tambahan: Soal Panjang dari jumlah dan selisih vektor.
Rumus yang akan digunakan: $|a \pm b|^2= |a|^2+|b|^2\pm 2|a||b| \cos \alpha$
#Soal 5. Diketahui |a|=8 , |b|=4 dan |a-b|= $6 \sqrt 3$. Maka nilai |a+2b|=...
Pembahasan:
$|a - b|^2= |a|^2+|b|^2- 2|a||b| \cos \alpha \\ (6 \sqrt 3)^2=8^2+4^2-2.8.4. \cos \alpha \\ \cos \alpha = -
\frac {7}{16} \\ \text {uraikan |a+2b|} \\ |a+2b|^2= |a|^2+|2b|^2+2|a||2b| \cos \alpha \\ |a+2b|^2=|a|^2+4|b|^2+4|a||b| \cos \alpha \\ |a+2b|^2 = 8^2+4.4^2+4.8.4. - \frac {7}{16} \\ |a+2b|= 6 \sqrt 2$ Sumber http://www.marthamatika.com/
Adapun rumus proyeksi vektor yang harus diingat adalah..
Misalkan vektor c adalah hasil proyeksi vektor a pada vektor b, maka
$$|\vec {c}| = \frac {\vec a .\vec b}{|\vec b|} \\ \vec {c} = \frac {\vec a .\vec b}{|\vec b|^2} .\vec b$$ Selanjutnya mari kita lihat pola soal dan pembahasan perihal panjang proyeksi dan proyeksi ortogonal vektor (soal diambil dari soal-soal SBMPTN dan Soal UN). Selain itu anda juga harus sanggup melakukan perkalian dot vektor.
#Soal 1. Diketahui a (-2,3,4) dan b (x,0,3). Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 4/5. Maka salah satu nilai x yang memenuhi adalah...
a) -4 b) -4 c) 2 d) 4 e) 6
Pembahasan: $$\vec a(-2,3,4) \, \, \, \vec b (x,0,3) \\ |\vec {c}| = \frac {\vec a .\vec b}{|\vec b|} \\ \frac {4}{5}=\frac {(-2,3,4) .(x,0,3)}{\sqrt {x^2+0^2+3^2}} \\ \frac {4}{5}=\frac {-2x+3.0+3.4}{\sqrt {x^2+9}} \\ 4 \sqrt {x^2+9}=5.(-2x+12) \\ \text {kuadratkan ke-2 ruas} \\ 21x^2-300x+864=0 \\ x=4 \, \cup \, x=10,2$$
#Soal 2. Proyeksi vektor u=6i+4j-5k pada v=-2i+j+2k adalah...
a) -4i+2j+4k
b) -2i-j-2k
c) -2/3 i -1/3 j- 2/3 k
d) -2/3 i +1/3 j+2/3 k
e) 4i-2j-4k
Pembahasan:
u(6,4,-5) dan v (-2,1,2) $$\vec {c} = \frac {\vec u .\vec v}{|\vec u|^2} .\vec v \\ \vec {c} = \frac {(6,4,-5) .(-2,1,2)}{(\sqrt {(-2)^2+1^2+2^2})^2} (-2,1,2) \\ \vec c= \frac {-12+4-10}{9} (-2,1,2) \\ \vec c= -2(-2,1,2) \\ \vec c= (4,-2,-4) \\ \vec c = 4i-2j-4k$$
#Soal 3. Diketahui a (4,-12,-6) dan b (4,2,-4). Jika vektor c adalah proyeksi ortogonal a pada b. Jika vektor d (2,1,x) memiliki panjang dengan vektor c. Maka panjang x adalah...
$a) \frac {1}{3} \sqrt {3} \\ b) \frac {1}{3} \sqrt {17} \\ c) \frac {1}{3} \sqrt {19} \\ d) \frac {1}{3} \sqrt {23} \\ e) \frac {1}{3} \sqrt {29}$
Pembahasan:
Dengan menghitung panjang proyeksi a pada b maka didapat panjangnya 8/3.
$|c|=|d| \\ \frac {8}{3} = \sqrt {2^2+1^2+x^2} \\ \frac {8}{3} = \sqrt {5+x^2} \\ \frac {64}{9} = 5+x^2 \\ x^2=\frac {64}{9} -5 \\ x= \frac {1}{3} \sqrt {19}$
#Soal 4. Diketahui
$\vec a = 2i+xj-3k \\ \vec b= 4i+2j-4k$ Jika proyeksi a pada b
$\vec c= \frac {8}{9}i+\frac {4}{9}j-\frac {8}{9}k \\ \text {maka nilai k=...} $
a) -6 b) -3 c) 3 d) 6 e) 8
Pembahasan:
a (2,x,-3) ; b (4,2,-4) c( 8/9, 4/9, -8/9)
$\vec {c} = \frac {\vec a .\vec b}{|\vec b|^2} .\vec b \\ ( \frac {8}{9}, \frac {4}{9}, -\frac {8}{9})=\frac {(2,x,-3) .(4,2,-4)}{(\sqrt {4^2+2^2+(-4)^2})^2} .(4,2,-4) \\ \frac {2}{9} (4,2,-4)= \frac {8+2x+12}{6} .(4,2,-4) \\ \frac {2}{9} = \frac {8+2x+12}{6} \\ x=-6 $
Tambahan: Soal Panjang dari jumlah dan selisih vektor.
Rumus yang akan digunakan: $|a \pm b|^2= |a|^2+|b|^2\pm 2|a||b| \cos \alpha$
#Soal 5. Diketahui |a|=8 , |b|=4 dan |a-b|= $6 \sqrt 3$. Maka nilai |a+2b|=...
Pembahasan:
$|a - b|^2= |a|^2+|b|^2- 2|a||b| \cos \alpha \\ (6 \sqrt 3)^2=8^2+4^2-2.8.4. \cos \alpha \\ \cos \alpha = -
\frac {7}{16} \\ \text {uraikan |a+2b|} \\ |a+2b|^2= |a|^2+|2b|^2+2|a||2b| \cos \alpha \\ |a+2b|^2=|a|^2+4|b|^2+4|a||b| \cos \alpha \\ |a+2b|^2 = 8^2+4.4^2+4.8.4. - \frac {7}{16} \\ |a+2b|= 6 \sqrt 2$ Sumber http://www.marthamatika.com/
Post a Comment for "Contoh Soal Dan Pembahasan Proyeksi Vektor"