Contoh Soal Sbmptn - Aplikasi Turunan
Di halaman ini akan diberikan pola soal dan pembahasan aplikasi turunan yang mencakup laju perubahan, dan persamaan garis singgung. Sebelum memahami pola soal ini alangkah akan lebih baik bila Anda membaca materi perihal turunan pada blog ini. Anda sanggup lihat pada halaman daftar isi.
Soal 1. Misalkan luas sebuah segitiga sama sisi ialah fungsi dari kelilingnya. Bila keliling segitiga ialah x, maka laju perubahan luas terhadap kelilingnya adalah.
Pembahasan
Misalkan sisi segitiga s.
Keliling = 3s = x artinya s =1/3 kll.
Rumus cepat luas segitiga sama kaki: $ L= \frac {s^2}{4} \sqrt {3}$
Sekarang kita buat luas dalam fungsi x.
$$ L(x) =\frac {s^2}{4} \sqrt {3} \\ L(x)= \frac {( \frac {1}{3} x)^2 }{4} \sqrt {3} \\ L(x) = \frac {1}{36} x^2 \sqrt 3 \\ \text {kita turunkan} \\ \frac {dL}{dx} = \frac {2}{36} x \sqrt 3 \\ \frac {dL}{dx} =\frac {1}{18} x \sqrt 3 $$
Soal 2. Sebuah balon berbentuk bola sedang dipompa sehingga volumenya bertambah 100 $cm^3/detik$. Laju perubahan jari-jari balon dikala diameternya mencapai 50 cm adalah.
Pembahasan:
Diki: Kecepatan Volume $ \frac {dV}{dt} = 100 cm^3/detik$
r= 50 cm.
Dita: $ \frac {dr}{dt}$
Hasi: Sesuai sifat notasi turunan yang memenuhi sifat aljabar perkalian, kita sanggup uraikan,
$$ \frac {dV}{dt} = \frac {dV}{dr}. \frac {dr}{dt} \\ \text {perhatikan volume bola} \\ V = \frac {4}{3} \pi r^3 \\ \text {turunkan terhadap r} \\ dV = 3. \frac {4}{3} \pi r^2 dr \\ \frac {dV}{dr} = 4. \pi r^2 \\ \text { balik ke persamaan di atas} \\ 100 = 4. \pi r^2. \frac {dr}{dt} \\ d=50 \rightarrow r=25 \\ 100 = 4.\pi . 25^2 \frac {dr}{dt} \\ \frac {dr}{dt} = \frac {1}{25 \pi } $$
Soal 3. Garis singgung kurva $ y=x^3-3x^2 $ di titik potongnya dengan sumbu x yang absisnya nyata mempunyai gradien…
Pembahasan:
Kita akan cari nilai x terlebih dahulu. Titikpotong sumbu x, artinya y=0. $$ y=x^3-3x^2 \\ x^2(x-3)=0 \\ x=0 \cup x=3 \\ \text {ambil x=3 alasannya diminta positif}$$
Selanjutnya, kita cari gradien. Sebagaimana konsep gradien, yaitu m = y’. Kita turunakan fungsi $$ y=x^3-3x^2 \\ m=y ^ \prime =3x^2-6x \\ x=3 \\ m=3.3^2-6.3 \\ m=9$$
Soal 4. Persamaan garis singgung kurva $ y= \frac {2x+1} {2-3x}$ dititik (1,-3) adalah…
Grafik K berwarna merah, dan memotong sumbu x titik A. Perpotongan dengan sumbu x artinya y=0. $$ y= \frac {x+1}{x-1} \\ 0= \frac {x+1}{x-1} \\ x=-1 \\ koordinat A(1,0) $$
Lalu ada garis g berwarna biru, menyinggung kurva di A. alasannya g garis singgung kita sanggup tahu gradien garis g sama dengan turunan kurva. $m_g=y^ \prime \\ m_g= \frac {(x-1) – (x+1)} {(x-1)^2 } \\ m_g = \frac {-1}{2}$$
Karena garis g dan h saling tegak lurus maka berlaku $$m_g.m_h=-1 \\ \frac {-1}{2} . m_h=-1 \\ m_h=2$$
Gunakan rumus mencari persamaan garis:
$$y-y_1=m_h(x-x_1) \\ y-0=2(x-(-1) \\ y =2x+1$$
Soal 6. Jika garis singgung dititk (1,2) pada parabola $ y=ax^2+bx+4$ mempunyai persamaan y=-6x+8. Tentukan nilai a dan b…
Pembahasan:
Garis singgung y=-6x+8. Gradien (m)= -6. X1= 1, y1=2.
$$m=y ^\prime = 2ax^2+b = -6 \\ x=1 \\ 2a+b=-6$$.
Titik singgung juga berada pada parabola, artinya titik (1,2) memenuhi persamaan parabola. $$ y=ax^2+bx+4 \\ 2= a.1^2+b.1+4 \\ a+b =-2 $$
Eliminasi persamaan 2a+b=-6 dan a+b=-2. Disini akan ditemukan a=-4 dan b=2. Sumber http://www.marthamatika.com/
Soal 1. Misalkan luas sebuah segitiga sama sisi ialah fungsi dari kelilingnya. Bila keliling segitiga ialah x, maka laju perubahan luas terhadap kelilingnya adalah.
Pembahasan
Misalkan sisi segitiga s.
Keliling = 3s = x artinya s =1/3 kll.
Rumus cepat luas segitiga sama kaki: $ L= \frac {s^2}{4} \sqrt {3}$
Sekarang kita buat luas dalam fungsi x.
$$ L(x) =\frac {s^2}{4} \sqrt {3} \\ L(x)= \frac {( \frac {1}{3} x)^2 }{4} \sqrt {3} \\ L(x) = \frac {1}{36} x^2 \sqrt 3 \\ \text {kita turunkan} \\ \frac {dL}{dx} = \frac {2}{36} x \sqrt 3 \\ \frac {dL}{dx} =\frac {1}{18} x \sqrt 3 $$
Soal 2. Sebuah balon berbentuk bola sedang dipompa sehingga volumenya bertambah 100 $cm^3/detik$. Laju perubahan jari-jari balon dikala diameternya mencapai 50 cm adalah.
Pembahasan:
Diki: Kecepatan Volume $ \frac {dV}{dt} = 100 cm^3/detik$
r= 50 cm.
Dita: $ \frac {dr}{dt}$
Hasi: Sesuai sifat notasi turunan yang memenuhi sifat aljabar perkalian, kita sanggup uraikan,
$$ \frac {dV}{dt} = \frac {dV}{dr}. \frac {dr}{dt} \\ \text {perhatikan volume bola} \\ V = \frac {4}{3} \pi r^3 \\ \text {turunkan terhadap r} \\ dV = 3. \frac {4}{3} \pi r^2 dr \\ \frac {dV}{dr} = 4. \pi r^2 \\ \text { balik ke persamaan di atas} \\ 100 = 4. \pi r^2. \frac {dr}{dt} \\ d=50 \rightarrow r=25 \\ 100 = 4.\pi . 25^2 \frac {dr}{dt} \\ \frac {dr}{dt} = \frac {1}{25 \pi } $$
Soal 3. Garis singgung kurva $ y=x^3-3x^2 $ di titik potongnya dengan sumbu x yang absisnya nyata mempunyai gradien…
Pembahasan:
Kita akan cari nilai x terlebih dahulu. Titikpotong sumbu x, artinya y=0. $$ y=x^3-3x^2 \\ x^2(x-3)=0 \\ x=0 \cup x=3 \\ \text {ambil x=3 alasannya diminta positif}$$
Selanjutnya, kita cari gradien. Sebagaimana konsep gradien, yaitu m = y’. Kita turunakan fungsi $$ y=x^3-3x^2 \\ m=y ^ \prime =3x^2-6x \\ x=3 \\ m=3.3^2-6.3 \\ m=9$$
Soal 4. Persamaan garis singgung kurva $ y= \frac {2x+1} {2-3x}$ dititik (1,-3) adalah…
Pembahasan:
Rumus mencari persamaan garis ialah y-y1 = m (x-x1) dalam hal ini kita sudah mempunyai x1 dan y1. Tinggal mencari m, dan m ini didapat dari turunan pertama. Ingat, m=y’. Kaprikornus kita cari turunan $ y= \frac {2x+1} {2-3x}$. Sebab berbentuk penggalan gunakan rumus turunan $\frac {u}{v}$
$$ u= 2x+1 \rightarrow u ^ \prime=2 \\ v=2-3x \rightarrow v ^ \prime = -3 \\ ( \frac {u}{v} )^ \prime = \frac {u^ \prime v- uv^ \prime }{v^2} \\ m = \frac {2(2-3x)-(-3)(2x+1) }{(2-3x)^2} \\ m = {2(2-3.1)-(-3)(2.1+1) }{(2-3.1)^2} \\ m=7 \\ \\ \text {persamaan garis} \\ y-y_1=m(x-x_1) \\ y-(-3) = 7(x-1) \\ y-7x+10 $$
Soal 5. Grafik K: $y= \frac {x+1}{x-1} $ memotong sumbu x di titik A. dan garis g menyinggung grafik K dititik A. Jika garis h melalui titik A dan tegak lurus terhadap garis g, maka persamaan garis h adalah…
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi di bawah ini
Rumus mencari persamaan garis ialah y-y1 = m (x-x1) dalam hal ini kita sudah mempunyai x1 dan y1. Tinggal mencari m, dan m ini didapat dari turunan pertama. Ingat, m=y’. Kaprikornus kita cari turunan $ y= \frac {2x+1} {2-3x}$. Sebab berbentuk penggalan gunakan rumus turunan $\frac {u}{v}$
$$ u= 2x+1 \rightarrow u ^ \prime=2 \\ v=2-3x \rightarrow v ^ \prime = -3 \\ ( \frac {u}{v} )^ \prime = \frac {u^ \prime v- uv^ \prime }{v^2} \\ m = \frac {2(2-3x)-(-3)(2x+1) }{(2-3x)^2} \\ m = {2(2-3.1)-(-3)(2.1+1) }{(2-3.1)^2} \\ m=7 \\ \\ \text {persamaan garis} \\ y-y_1=m(x-x_1) \\ y-(-3) = 7(x-1) \\ y-7x+10 $$
Soal 5. Grafik K: $y= \frac {x+1}{x-1} $ memotong sumbu x di titik A. dan garis g menyinggung grafik K dititik A. Jika garis h melalui titik A dan tegak lurus terhadap garis g, maka persamaan garis h adalah…
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi di bawah ini
Grafik K berwarna merah, dan memotong sumbu x titik A. Perpotongan dengan sumbu x artinya y=0. $$ y= \frac {x+1}{x-1} \\ 0= \frac {x+1}{x-1} \\ x=-1 \\ koordinat A(1,0) $$
Lalu ada garis g berwarna biru, menyinggung kurva di A. alasannya g garis singgung kita sanggup tahu gradien garis g sama dengan turunan kurva. $m_g=y^ \prime \\ m_g= \frac {(x-1) – (x+1)} {(x-1)^2 } \\ m_g = \frac {-1}{2}$$
Karena garis g dan h saling tegak lurus maka berlaku $$m_g.m_h=-1 \\ \frac {-1}{2} . m_h=-1 \\ m_h=2$$
Gunakan rumus mencari persamaan garis:
$$y-y_1=m_h(x-x_1) \\ y-0=2(x-(-1) \\ y =2x+1$$
Soal 6. Jika garis singgung dititk (1,2) pada parabola $ y=ax^2+bx+4$ mempunyai persamaan y=-6x+8. Tentukan nilai a dan b…
Pembahasan:
Garis singgung y=-6x+8. Gradien (m)= -6. X1= 1, y1=2.
$$m=y ^\prime = 2ax^2+b = -6 \\ x=1 \\ 2a+b=-6$$.
Titik singgung juga berada pada parabola, artinya titik (1,2) memenuhi persamaan parabola. $$ y=ax^2+bx+4 \\ 2= a.1^2+b.1+4 \\ a+b =-2 $$
Eliminasi persamaan 2a+b=-6 dan a+b=-2. Disini akan ditemukan a=-4 dan b=2.
Post a Comment for "Contoh Soal Sbmptn - Aplikasi Turunan"