Contoh Soal Dan Pembahasan Kombinasi Linear, Bebas Linear Dan Bergantung Linear

Sebelumnya telah dipaparkan klarifikasi mengenai kombinasi linear, bebas linear dan bergantung linear. Bisa dibaca uraian materinya pada : Pengertian Vektor Kombinasi Linear, Bebas Linear dan Bergantung Linear. Berikutnya pada halaman ini akan dibahas teladan soal mengenai kombinasi linear vektor.

1) Diberikan $ \vec {u} = (2,4,0) , \vec {v} = (1,-1,3)$. Vektor tersebut berada di $R^3$. Dari vektor di bawah ini apakah $ \vec{r} =(4,2,6) $ merupakan kombinasi linear dari u dan v ?

Pembahasan:
$\vec {r} = (4,2,6)$

Kita akan mengusut apakah ada kontanta $k_1$, $k_2$ yang memenuhi persamaan semoga u dan v kombinasi linear dari r.
$\vec {a}=k_1. \vec {u}+k_2.\vec{v} \\ \begin{pmatrix} 4\\ 2\\ 6 \end{pmatrix} = k_1 \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix} \\ 2k_1+k_2 =4 \\ 4k_1 - k_2 =2$
Jika diselesaikan persamaan yang didapat diperoleh nilai k1 =1 dan k2 = 2. Sekarang diuji kalau dipakai elemen pada vektor yang ke III.
$6...0.k_1+3k_2 \\ 6... 0.1+3.2 \\ 6=6$
Ternyata juga memenuhi. Kaprikornus $\ vec {u} ,\vec {v} $ merupakan kombinasi linear dari $\vec {r} $ dimana sanggup dinyataka dalam bentuk $ \vec {r} = \vec {u} + 2 \vec {v}.

2) Diketahui suku banyak atau polinomial :
$ y_1 = 1-2x+3x^2 \\ y_2= 5+6x-x^2 \\ y_3= 3+2x+x^2 $ . Apakah polinomial di atas bebas linear atau bergantung linear?

Jawab:
Untuk menguji apakah bebas linear atau bergantung linear harus dicari apakah nanti ada nilai a yang memenuhi $k_1p_1+k_2p_2+k_3p_3=0$. Kita sanggup tuliskan bentuk persamaan linear di atas menjadi persamaan homogen menyerupai berikut,
$k_1 \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 3 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 5\\ 6\\ -1 \end{pmatrix}+ k_3 \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} = 0 $

Berikutnya ada dua pilihan cara menyelesaikan. Pertama dicari dengan metode subtitusi/eliminasi sehingga ada atau tidak nilai $k_1, k_2, k_3$. (Terkait : Kalkulator Penyelesaian Persamaan Linear 3 Variabel.

Cara kedua, persamaan di atas dibuat dalam matriks,
$\begin{pmatrix} 1 & 5 & 3\\ -2&6 &2 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k_1\\ k_2 \\ k_3 \end{pmatrix} = 0$

Dari persamaan matriks diatas, semoga hasil perkalian 0 dan $k_1, k_2, k_3$ mempunyai nilai, maka determinan matriks yang dikiri (matriks 3x3) haruslah 0.

Silahkan dihitung determinan matriks 3x3 di atas, (terkait: Kalkulator Menghitung Determinan Matriks 3x3). Ternyata determinan matriks 3x3 di atas ialah 0. Ini artinya, $k_1, k_2, k_3$ mempunyai nilai. Oleh alasannya itu, KARENA ADA NILAI K yang tidak 0 maka vektor tersebut bergantung linear.

Untuk perkara atau soal lain, bila ditemukan determinan matriks 3x3 –nya tidak nol. Maka kesimpulannya vektor tersebut bebas linear.
Sumber http://www.marthamatika.com/