Rumus Dan Sifat Perkalian Silang (Cross Product) 2 Vektor Beserta Pola Soal Dan Pembahasan

Definisi dan Rumus Perkalian Silang Dua Vektor

Pada dasarnya, perkalian vektor itu dibedakan menjadi dua, yaitu perkalian antara vektor dengan skalar dan perkalian antara vektor dengan vektor. Lalu perkalian antara vektor dengan vektor dibedakan menjadi dua jenis yaitu perkalian titik (dot product) atau sering disebut dengan perkalian skalar dan perkalian silang (cross product). Perkalian silang inilah yang sejatinya disebut sebagai perkalian vektor. Mengapa demikian? Untuk mengetahui jawabanannya simak baik-baik klarifikasi diberikut ini.

Perkalian silang atau cross product dua buah vektor, misalkan antara vektor A dan vektor B yang dituliskan sebagai A × B didefinisikan sebagai perkalian antara vektor A dengan komponen vektor B yang tegak lurus vektor A. Pada gambar di atas, komponen vektor B yang tegak lurus vektor A adalah B sin α. Dari definisi tersebut, secara matematis perkalian silang  antara vektor A dan B dapat dituliskan dengan rumus atau persamaan sebagai diberikut:

	A × B	=	C
	|A × B|	=	AB sin α

Keterangan:
α	=	sudut yang dibuat oleh vektor A dan B dengan 0o ≤ 𝛼 ≤ 180o
C	=	vektor lain hasil perkalian silang antara vektor A dan B
|A x B|	=	besar vektor hasil perkalian silang antara vektor A dan B

Dari persamaan perkalian silang di atas, sanggup disimpulkan bahwa hasil perkalian silang dua buah vektor ialah sebuah vektor gres yang arahnya tegak lurus pada bidang yang dibuat oleh dua vektor tersebut. Simbol dari perkalian silang ialah “×” (baca: cross). Karena hasil perkalian silang ialah vektor maka perkalian silang atau cross product disebut juga dengan perkalian vektor atau vector product. Untuk memilih arah vektor hasil perkalian silang sanggup dipakai hukum asisten sebagai diberikut.

melaluiataubersamaini memakai kaidah tangan kanan, arah vektor C hasil perkalian A terhadap B atau sanggup kita tulis C = A × B ialah tegak lurus ke atas tidak menembus bidang yang dibuat vektor A dan B. Perkalian vektor A × B ditunjukkan pada arah lipatan empat jari yaitu dari A ke B. Sedangkan ibu jari mengatakan arah vektor C hasil perkalian antara vektor A terhadap vektor B. Konsep yang sama juga berlaku pada perkalian vektor B terhadap A.

Arah vektor C hasil perkalian B terhadap A atau kita tulis sebagai C = B× A ialah tegak lurus ke bawah menembus bidang yang dibuat vektor A dan B. Perkalian vektor B × A ditunjukkan pada arah lipatan empat jari dari gengaman asisten yang dibalik ke bawah yang mengatakan arah dari B ke A. Dan ibu jari mengatakan arah vektor C hasil perkalian antara vektor B terhadap A.

Di dalam perkalian silang (cross product) antara dua vektor ada beberapa point penting yang perlu kalian ingat. Point-point penting tersebut ialah sebagai diberikut.

1	Pada perkalian silang tidak berlaku sifat komutatif sehingga
	A x B ≠ B x A
2	Pada perkalian silang berlaku sifat anti komutatif yaitu
	A x B = - B  x A
3	Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus (𝛼 = 90o) maka
	|A x B| = AB → sin  90o = 1
4	Jika kedua vektor A dan B searah (𝛼 = 0o) maka
	|A x B| = 0 → sin  0o = 0
5	Jika kedua vektor A dan B berlawanan arah (𝛼 = 180o) maka
	|A x B| = 0 → sin  180o = 0

Perkalian Silang Pada Vektor Satuan

Terdapat dua konsep perkalian silang pada vektor satuan yang perlu kalian pahami. Konsep pertama ialah perkalian silang antara vektor satuan yang sejenis (ex. i × i), dimana hasil perkalian silang untuk vektor-vektor yang sejenis, karenanya ialah nol. Perhatikan perhitungannya diberikut ini.

i × i = 1.1 sin 0o = 0

j × j = 1.1 sin 0o = 0

k × k = 1.1 sin 0o = 0

Dan konsep yang kedua ialah perkalian silang antara vektor satuan yang tidak sejenis (ex. i × j), dimana hasil sanggup ditentukan dengan memakai siklus perkalian silang vektor satuan ibarat yang ditunjukkan pada gambar diberikut ini.

melaluiataubersamaini memakai konsep perkalian silang antara vektor satuan sejenis dan juga siklus perkalian silang di atas, kita sanggup memilih hasil perkalian silang dua vektor satuan dengan sangat gampang. Misalkan terdapat dua vektor diberikut ini.

A = Axi + Ayj + Azk

B = Bxi + Byj + Bzk

Hasil perkalian silang antara vektor A dan B adalah sebagai diberikut

A × B	=	(Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)
A × B	=	Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk + Azkx Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
		→  alasannya i x i = j x j = j x k = 1x1 sin 0o = 0 maka
A × B	=	0 + Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + 0 + Ayj x Bzk + Azk x Bxi + Azk xByj + 0
A × B	=	Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + Ayj x Bzk + Azk x Bxi + Azk x Byj
		→  dengan memakai siklus perkalian silang maka
A × B	=	AxByk – AxBzj – AyBxk­ + AyBzi + AzBxj – AzByi
A × B	=	(AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k­

melaluiataubersamaini demikian, sanggup kita simpulkan bahwa hasil perkalian silang antara dua vektor satuan dalam sistem koordinat tiga dimensi (x,y,z)adalah sebagai diberikut:

A	=	Axi + Ayj + Azk
B	=	Bxi + Byj + Bzk

maka

A × B	=	(AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k­

Jika kalian masih merasa kesusahan dalam menghitung perkalian silang vektor satuan dengan memakai siklus di atas, ada cara lain yang lebih simpel dan simple dalam mencari hasil perkalian silang dua vektor satuan. Teknik tersebut ialah dengan menggunakan metode determinan. melaluiataubersamaini memakai metode ini, kalian tidak perlu repot-repot menghafal rumus di atas. Perhatikan denah diberikut ini.

melaluiataubersamaini memakai metode determinan tersebut, maka hasil perkalian silang antara vektor A dan vektor B di atas ialah sebagai diberikut.

A × B	=	i AyBz + j AzBx + k AxBy – k AyBx – i AzBy – j AxBz
A × B	=	(AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k­

Bagaimana? Lebih simple dan simpel dengan metode determinan bukan? Teknik ini ialah cara yang paling efektif dan efisien dalam menghitung perkalian silang dua vektor satuan.

 

Sifat-Sifat Perkalian Silang Vektor

Jika A, B dan C ialah sembarang vektor dan k ∈ R ialah skalar, maka sifat perkalian silang antara vektor vektor tersebut ialah sebagai diberikut.

Perkalian silang mempunyai sifat antikomutatif, yaitu

A × B ≠ B × A

Perkalian silang mempunyai sifat asosiatif, yaitu

k(A × B) = (kA) × B = A × (kB)

Dan terakhir, perkalian silang mempunyai sifat distributif, yaiut

A × (B + C) = (A × B) + (A × C)

(A + B) × C = (A × C) + (B × C)

 

misal Soal Perkalian Silang Dua Vektor dan Pembahasan

Untuk lebih memahami penerapan rumus perkalian silang dua buah vektor, silahkan kalian pahami beberapa pola soal perkalian silang dua buah vektor beserta pembahasannya diberikut ini.

misal Soal #1

Vektor A = 10 N dan vektor B = 20 cm, satu titik tangkap dan saling mengapit sudut 30° satu dengan lain. Tentukan hasil perkalian silang vektor A dan B.

Penyelesaian:

A × B = AB sin α

A × B = 10 N. 20 cm . sin 30°

A × B = 10 N. 20 cm . ½

A × B = 100 Nm

 

misal Soal #2

Hitunglah hasil perkalian silang dua verktor A = i + j + k dan B = 3i + j + 2k. Kemudian tentukan besar sudut yang dibuat (diapit) kedua vektor tersebut.

Penyelesaian:

Hasil perkalian

A × B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k

A × B = (1×2 – 1×1)i + (1×3 – 1×2)j + (1×1 – 1×3)k

A × B = (2 – 1)i + (3 – 2)j + (1 – 3)k

A × B = i + j – 2k

Sudut yang dibentuk

|A × B|	= AB sin α
A	= √(12 + 12 + 12) = √3
B	= √(32 + 12 + 22) = √14
|A × B|	= √{(12 + 12 + (-22)} = √6
maka
√6	= (√3)(√14) sin α
√6	= √42 sin α
sin α	= √6/√42
sin α	= 0,378
α	≈ 22,21o

Demikianlah artikel wacana pengertian, rumus dan sifat perkalian silang (cross product) dua vektor beserta pola soal cara memilih hasil perkalian silang dan sudut yang dibuat antara dua vektor satuan. Semoga sanggup bermanfaa untuk Anda. Terimakasih atas kunjungannya dan hingga jumpa di artikel diberikutnya.

Sumber https://www.fisikabc.com/

Share :