Contoh Aplikasi Matriks Dalam Penyelesaian Persamaan Linear
Pada halaman ini aku akan berikan beberapa referensi soal dan penyelesaian ihwal penggunaan matriks untuk menuntaskan persamaan linear baik 2 variabel ataupun 3 variabel. Semoga soal dan pembahasan matriks di bawah ini dapat membantu.
Namun sebelumnya, pastikan anda telah memahami ihwal Invers Matriks, Determinan Matriks.
#Soal 1. Diketahui persamaan linear
2x-3y=p
3x+2y=q $$x= \frac {a}{\begin{vmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2 \end{vmatrix}}$$
nilai a yang memenuhi adalah...
a) -3p+2q b) 2p-3q c) 2p+3q d) 3p-2q e) 3p+2q
Pembahasan:
$ \text {x menurut diketahui } \\ x= \frac {a}{\begin{vmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2 \end{vmatrix}} \\ \text {sementara menurut persamaan } \\ x= \frac {D_x}{D} \\ x= \frac {\begin{vmatrix} p & -3\\ q &2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -3\\ 3 &2 \end{vmatrix}} \\ \text {selanjutnya disamakan } \\ x=x \\ \frac {a}{\begin{vmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2 \end{vmatrix}} = \frac {\begin{vmatrix} p & -3\\ q &2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -3\\ 3 &2 \end{vmatrix}} \\ a= \begin{vmatrix} p & -3\\ q &2 \end{vmatrix} \\ a=2p-3q $
#Soal 2. Persamaan Linear
2x-3y-3=0
4x-y+7=0 $$y= \frac {a}{\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 4 & -1 \end{vmatrix}}$$ Nilai a yang memenuhi adalah...
a) -26 b) -19 c) -2 d) 2 e) 26
Pembahasan:
$2x-3y-3=0 \rightarrow 2x-3y=3 \\ 4x-y+7=0 \rightarrow 4x-y=-7 \\ y= \frac {\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 4& -7 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 &3 \\ 4& -1 \end{vmatrix}}= \frac {a}{\begin{vmatrix} 2 &3 \\ 4& -1 \end{vmatrix}} \\ a= \begin{vmatrix} 2 & 3\\ 4& -7 \end{vmatrix} \\ a= 2.-7 -4.3 =-14-12=-26$
#Soal 3. Jika x dan y memenuhi persamaan matriks:
$\begin{pmatrix} p &q \\ q &p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p \\ q\end{pmatrix} \, \, p \neq q$
Maka nilai x+2y=...
a) -6 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
Pembahasan:
$\begin{pmatrix} p &q \\ q &p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p \\ q\end{pmatrix} \\ \text {misal } \\ A=\begin{pmatrix} p &q \\ q &p \end{pmatrix} \\ B= \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \\ C= \begin{pmatrix} p \\ q\end{pmatrix} \\ AB=C \\ A^{-1}AB=A^{-1}C \\ IB=A^{-1}C \\ B=A^{-1}C$
$A=\begin{pmatrix} p &q \\ q &p \end{pmatrix} \\ B= \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \\ C= \begin{pmatrix} p \\ q\end{pmatrix} \\ AB=C \\ A^{-1}AB=A^{-1}C \\ IB=A^{-1}C \\ B=A^{-1}C \\ B = \frac {1}{p^2-q^2} \begin{pmatrix} p & -q \\ -q &p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ q\end{pmatrix} \\ B= \frac {1}{p^2-q^2} \begin{pmatrix} p^2-q^2 \\ -pq+pq \end{pmatrix} \\ B=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ x= 1 \,\, y=0 \\ 2x+y = 2.1+0=2$
#Soal 4. Konstanta k yang memenuhi persamaan:
$\begin{pmatrix} k &1 \\ 1 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ k\end{pmatrix} $
Nilai x+y adalah...
a) (2+k)(k+1)
b) (2-k) (k+1)
c) (2-k) (1-k)
d) (k+1)(1-k)
e) (2+k)(1-k)
Pembahasan:
$\begin{pmatrix} k &1 \\ 1 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ k\end{pmatrix} \\ \text {misal } \\ A= \begin{pmatrix} k &1 \\ 1 &0 \end{pmatrix} \\ B=\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} \\ C= \begin{pmatrix} 0 \\ k\end{pmatrix} \\ AB=C \\ A^{-1}AB=A^{-1}C \\ IB=A^{-1}C \\ B= \frac {1}{k.0-1.1} \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ -1 &k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ k\end{pmatrix} \\ B=\begin{pmatrix} -k \\ k^2\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -k \\ k^2\end{pmatrix} \\ x-1 =-k \, \, y-1 =k^2 \\ x=-k+1 \,\, y=k^2+1 \\ x+y = -k+1+k^2+1 \\ x+y=k^2-k+2 \\ x+y=(k-2)(k+1)$
#Soal 5. Persamaan Linear
x+2y+3z =14
2x-y+z = 3
-x+y-2z=-5
$z= \frac {a}{\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &-1 &1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} }$
a) -30 b) -10 c) 10 d) 20 e) 30
Pembahasan:
Secara persamaan:
$z= \frac {D_z}{D} \\ z= \frac {\begin{vmatrix} 1 &2 &14 \\ 2 &-1 &3 \\ -1 & 1 & -5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &-1 &1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} } $
Sumber http://www.marthamatika.com/
Namun sebelumnya, pastikan anda telah memahami ihwal Invers Matriks, Determinan Matriks.
#Soal 1. Diketahui persamaan linear
2x-3y=p
3x+2y=q $$x= \frac {a}{\begin{vmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2 \end{vmatrix}}$$
nilai a yang memenuhi adalah...
a) -3p+2q b) 2p-3q c) 2p+3q d) 3p-2q e) 3p+2q
Pembahasan:
$ \text {x menurut diketahui } \\ x= \frac {a}{\begin{vmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2 \end{vmatrix}} \\ \text {sementara menurut persamaan } \\ x= \frac {D_x}{D} \\ x= \frac {\begin{vmatrix} p & -3\\ q &2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -3\\ 3 &2 \end{vmatrix}} \\ \text {selanjutnya disamakan } \\ x=x \\ \frac {a}{\begin{vmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2 \end{vmatrix}} = \frac {\begin{vmatrix} p & -3\\ q &2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -3\\ 3 &2 \end{vmatrix}} \\ a= \begin{vmatrix} p & -3\\ q &2 \end{vmatrix} \\ a=2p-3q $
#Soal 2. Persamaan Linear
2x-3y-3=0
4x-y+7=0 $$y= \frac {a}{\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 4 & -1 \end{vmatrix}}$$ Nilai a yang memenuhi adalah...
a) -26 b) -19 c) -2 d) 2 e) 26
Pembahasan:
$2x-3y-3=0 \rightarrow 2x-3y=3 \\ 4x-y+7=0 \rightarrow 4x-y=-7 \\ y= \frac {\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 4& -7 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 &3 \\ 4& -1 \end{vmatrix}}= \frac {a}{\begin{vmatrix} 2 &3 \\ 4& -1 \end{vmatrix}} \\ a= \begin{vmatrix} 2 & 3\\ 4& -7 \end{vmatrix} \\ a= 2.-7 -4.3 =-14-12=-26$
#Soal 3. Jika x dan y memenuhi persamaan matriks:
$\begin{pmatrix} p &q \\ q &p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p \\ q\end{pmatrix} \, \, p \neq q$
Maka nilai x+2y=...
a) -6 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
Pembahasan:
$\begin{pmatrix} p &q \\ q &p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p \\ q\end{pmatrix} \\ \text {misal } \\ A=\begin{pmatrix} p &q \\ q &p \end{pmatrix} \\ B= \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \\ C= \begin{pmatrix} p \\ q\end{pmatrix} \\ AB=C \\ A^{-1}AB=A^{-1}C \\ IB=A^{-1}C \\ B=A^{-1}C$
$A=\begin{pmatrix} p &q \\ q &p \end{pmatrix} \\ B= \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \\ C= \begin{pmatrix} p \\ q\end{pmatrix} \\ AB=C \\ A^{-1}AB=A^{-1}C \\ IB=A^{-1}C \\ B=A^{-1}C \\ B = \frac {1}{p^2-q^2} \begin{pmatrix} p & -q \\ -q &p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ q\end{pmatrix} \\ B= \frac {1}{p^2-q^2} \begin{pmatrix} p^2-q^2 \\ -pq+pq \end{pmatrix} \\ B=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ x= 1 \,\, y=0 \\ 2x+y = 2.1+0=2$
#Soal 4. Konstanta k yang memenuhi persamaan:
$\begin{pmatrix} k &1 \\ 1 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ k\end{pmatrix} $
Nilai x+y adalah...
a) (2+k)(k+1)
b) (2-k) (k+1)
c) (2-k) (1-k)
d) (k+1)(1-k)
e) (2+k)(1-k)
Pembahasan:
$\begin{pmatrix} k &1 \\ 1 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ k\end{pmatrix} \\ \text {misal } \\ A= \begin{pmatrix} k &1 \\ 1 &0 \end{pmatrix} \\ B=\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} \\ C= \begin{pmatrix} 0 \\ k\end{pmatrix} \\ AB=C \\ A^{-1}AB=A^{-1}C \\ IB=A^{-1}C \\ B= \frac {1}{k.0-1.1} \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ -1 &k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ k\end{pmatrix} \\ B=\begin{pmatrix} -k \\ k^2\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -k \\ k^2\end{pmatrix} \\ x-1 =-k \, \, y-1 =k^2 \\ x=-k+1 \,\, y=k^2+1 \\ x+y = -k+1+k^2+1 \\ x+y=k^2-k+2 \\ x+y=(k-2)(k+1)$
#Soal 5. Persamaan Linear
x+2y+3z =14
2x-y+z = 3
-x+y-2z=-5
$z= \frac {a}{\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &-1 &1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} }$
a) -30 b) -10 c) 10 d) 20 e) 30
Pembahasan:
Secara persamaan:
$z= \frac {D_z}{D} \\ z= \frac {\begin{vmatrix} 1 &2 &14 \\ 2 &-1 &3 \\ -1 & 1 & -5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &-1 &1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} } $
Diketahui soal
$z= \frac {a}{\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &-1 &1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} }$
Silakan disamakan:
$z=z \\ \frac {\begin{vmatrix} 1 &2 &14 \\ 2 &-1 &3 \\ -1 & 1 & -5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &-1 &1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} }=\frac {a}{\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &-1 &1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} } \\ a =\begin{vmatrix} 1 &2 &14 \\ 2 &-1 &3 \\ -1 & 1 & -5 \end{vmatrix}$
Lanjutkan mencari determinan matriks 3x3. Jika belum tahu bagaimana cara mencari determinan matriks 3x3 silakan baca selengkapnya di : Mencari Determinan matriks 3x3.
Post a Comment for "Contoh Aplikasi Matriks Dalam Penyelesaian Persamaan Linear"