Contoh Soal Perkalian Vektor Titik (Dot Product) Dan Pembahasannya

Seperti yang sudah kalian ketahui, operasi vektor tidak spesialuntuk terbatas pada penjumlahan dan pengurangan vektor saja, operasi perkalian juga berlaku pada vektor. Perkalian vektor dibedakan menjadi tiga macam, antara lain perkalian vektor dengan skalar, perkalian titik (dot product), dan perkalian silang (cross product).

Nah, pada peluang kali ini kita akan mempelajari beberapa teladan soal wacana perkalian titik. Namun sebelum itu, kita ulas sedikit terkena konsep perkalian titik (dot product) vektor diberikut ini.

Perkalian Titik Vektor (Dot Product)

Perkalian titik antara dua vektor A dan vektor B ialah bemasukan skalar yang besarnya sama dengan hasil kali kedua vektor itu terhadap cosinus sudut apitnya. Perhatikan gambar di bawah ini.

θ adalah sudut apit antara dua vektor. Perkalian titik antara vektor A dan B dituliskan sebagai diberikut.

A . B = |A||B| cos θ

Keterangan:

θ = sudut yang dibuat oleh dua vektor A dan B dengan 0o ≤ θ ≤ 180o

|A| = besar vektor A

|B| = besar vektor B

AB cos θ = BA cos θ maka A . B = B . A. Perkalian titik dua vektor disebut juga sebagai perkalian skalar.

Untuk megampangkan perhitungan perkalian titik dua vektor, perlu dipahami sifat-sifat perkalian titik sesama vektor. Perkalian titik antara dua vektor satuan akan bernilai satu bila kedua vektor tersebut sejenis dan bernilai nol bila kedua vektor tersebut tidak sejenis.

i . i = j . j = k . k = (1) (1) cos 0o = 1

i . j = i . k = j . k = (1) (1) cos 90o = 0

Sudut antara vektor satuan i dan i ialah 0o maka (i) (i) cos 0o = 1, sedangkan sudut antara vektor satuan i dan j ialah 90o maka (i) (j) cos 90o = 0. Ketentuan ini memenuhi sifat perkalian titik sesama vektor. Secara matematis, perkalian titik vektor A dan B sanggup diperoleh sebagai diberikut.

A . B = (Axi + Ayj + Azk) . (Bxi + Byj + Bzk)

A . B = AxBx + AyBy + AzBz

misal Soal:

Vektor gaya dan perpindahan mempunya persamaan F = (i + j + k) N dan s = (3i + 4j + 6k) m. tentukan perjuangan yang dilakukan oleh gaya!

Penyelesaian:

Diketahui:

F = (i + j + k)

s = (3i + 4j + 6k)

ditanya: perjuangan (W)

Jawab:

Usaha ialah hasil perkalian titik antara gaya dengan perpindahan, jadi

W = F . s

W = (i + j + k) . (3i + 4j + 6k)

W = (1)(3) + (1)(4) + (1)(6)

W = 3 + 4 + 6

W = 13

Jadi perjuangan yang dilakukan oleh gaya tersebut ialah 13 joule.

misal Soal dan Pembahasan

1. Tentukan hasil perkalian titik antara dua vektor satuan A = 2i + 3j + 5k dan B = 4i + 2j – k

Jawab:

A . B = AxBx + AyBy + AzBz

A . B = (2)(4) + (3)(2) + (5)(-1)

A . B = 8 + 6 – 5

A . B = 9

2. Balok yang berada pada bidang datar licin ditarik oleh gaya 200 N dengan arah membentuk sudut 60o terhadap arah horizontal ibarat pada gambar di bawah ini.

Pada ketika balok berpindah 8 m maka tentukan perjuangan yang dilakukan oleh gaya F.

Penyelesaian:

Usaha sanggup didefinisikan sebagai perkalian titik gaya yang bekerja selama perpindahannya dengan perpindahannya tersebut. Berarti sanggup diperoleh relasi sebagai diberikut.

W = F . s

W = |F||s| cos 60o

W = (200)(8)(1/2)

W = 800 joule

Usaha ialah bemasukan skalar.

3. Tentukanlah hasil perkalian titik antara dua vektor satuan A = i + 2j + 3k dan B = 3i + 2j – k

Jawab:

A . B = AxBx + AyBy + AzBz

A . B = (1)(3) + (2)(2) + (3)(-1)

A . B = 3 + 4 – 3

A . B = 4

4. Diketahui 2 buah vektor yaitu sebagai diberikut

a = 4i + 3j – k

b = -i – 2j + 3k

Hitunglah sudut antara vektor a dan vektor b.

Penyelesaian:

Besar vektor a ialah sebagai diberikut.

|a| = √[(4)2 + (3)2 + (-1)2]

|a| = √(16 + 9 + 1)

|a| = √26

Besar vektor b ialah sebagai diberikut

|b| = √[(-1)2 + (-2)2 + (3)2]

|b| = √(1 + 4 + 9)

|b| = √14

Besar perkalian titik vektor a . b ialah sebagai diberikut.

a . b = AxBx + AyBy + AzBz

a . b = (4)(-1) + (3)(-2) + (-1)(3)

a . b = -4 – 6 – 3

a . b = -13

Karena perkalian titik menghasilkan bemasukan skalar, maka nilai perkalian titik harus selalu positif, sehingga

a . b = 13

melaluiataubersamaini memakai perkalian titik, maka sudut antara vektor a dan b ialah sebagai diberikut.

a . b = |a||b| cos θ

13 = (√26)(√14) cos θ

13 = √364 cos θ

13 = 19 cos θ

cos θ = 13/19

cos θ = 0,68

θ = arc cos 0,68

θ = 47o

5. Diketahui vektor a, b, dan c ibarat pada gambar di bawah ini. Besar vektor-vektor tersebut masing-masing 3, 4, dan 5 satuan. Tentukanlah:

a) a . b

b) a . c

c) b . c

Jawab:

a) a . b = |a||b| cos γ

⇒ a . b = (3)(4) cos 90o

⇒ a . b = (12)(0)

⇒ a . b = 0

b) a . c = |a||c| cos (180o – β)

⇒ a . c = |a||c| (-cos β)

⇒ a . c = (3)(5)(-3/5)

⇒ a . c = (15)(-3/5)

⇒ a . c = -9

c) b . c = |b||c| cos (180o – α)

⇒ b . c = |b||c| (-cos α)

⇒ b . c = (4)(5)(-4/5)

⇒ b . c = (20)(-4/5)

⇒ b . c = -16

6. Diketahui tiga vektor diberikut.

x = 2i + 3j

y = 3i + 2j

z = i + j + k

Hitunglah:

a) x . x

b) (x + y) . z

Jawab:

a) x . x = (2i + 3j) . (3i + 2j)

⇒ x . x = (2)(3) + (3)(2)

⇒ x . x = 6 + 6

⇒ x . x = 12

b) Pertama kita tentukan lampau operasi penjumlahan yang berada di dalam tanda kurung, yaitu sebagai diberikut.

⇒ x + y = (2i + 3j) + (3i + 2j)

⇒ x + y = 5i + 5j

Lalu risikonya kita kalikan dengan vektor z, yaitu sebagai diberikut.

(x + y) . z = (5i + 5j) . (i + j + k)

(x + y) . z = (5)(1) + (5)(1) + (0)(1)

(x + y) . z = 5 + 5 + 0

(x + y) . z = 10

Sumber https://www.fisikabc.com/

Share :