Pembuktian Turunan Sin X = Cos X

Mungkin ada yang bertanya Kenapa turunan sin x = cos x, darimana datangnya rumus turunan sin x? Berikut aku akan berikan penurunan rumus turunan sin x itu dari mana. Dalam menuntaskan pembuktian rumus turunan sinus ini akan dipakai defenisi dasar turunan dari limit. Kita ketahui bahwasanya, $$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ \text {dengan catatan nilai limit harus ada} $$
Kita telah mengenal bergotong-royong turunan dari sin x ialah cos x. (asumsi diturunkan terhadap x). Sekarang kita akan tulis pembuktian turunan sin x tersebut.

Ingat kembali penjumlahan sudut trigonometri yaitu, sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B.
Artinya bila f(x) = sin x ,
maka f(x+h) = sin (x+h)
f(x+h) = sin x cos h + cos x sin h.

Sekarang juga ingat rumus: $$ \cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A \\ \text {jika 2A=h, maka} \\ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ \cos h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ \cos h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ \cos h - 1= - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $$
Sekarang mari kita mulai mengunakan teorema limit untuk turunan tersebut.
$$f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h + \cos x \sin h ) - \sin x }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h + \sin x ) - \cos x \sin h }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) + \cos x \sin h }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) }{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin h }{h} $$

 $$= \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( \cos h - 1 ) }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . (- 2\sin \frac{1}{2} h ) + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin \frac{1}{2} 0 ) + \cos x . 1 \\ = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin 0 ) + \cos x \\ = \sin x . \frac{1}{2}. (0 ) + \cos x \\ = 0 + \cos x \\ = \cos x $$

Sekarang terbukti bukan, atau bila ada yang bertanya kenapa turunan sin x itu cos x. Anda dapat beritahu halaman ini pada golongan orang yang bertanya ibarat demikian. Baca juga pembuktian rumus turunan lain:

1. Pembuktian Rumus Turunan Sinus (sin)
2. Pembuktian Rumus Turunan Cosinus (cos)
3. Pembuktian Rumus Turunan Tangen (tan)
4. Pembuktian Rumus Turunan Cotangen (cotan)
5. Pembuktian Rumus Turunan Secan (sec)
6. Pembuktian Rumus Turunan Cosec (cosec)

Sumber http://www.marthamatika.com/

Share :