Perkalian Vektor: Macam-Macam, Sifat, Rumus, Tumpuan Soal Dan Pembahasan

Dalam artikel tentang pengertian, gambar, notasi dan sifat-sifat vektor, sudah disebutkan bahwa salah satu sifat vektor yaitu dapat dikalikan. Jika pada artikel-artikel sebelumnya sudah dibahas terkena cara memilih resultan vektor hasil penjumlahan dan pengurangan baik dengan metode grafis maupun metode analisis, maka dalam artikel ini akan kita bahas terkena perkalian vektor. Untuk memahami tentang perkalian vektor simak klarifikasi diberikut ini.

Macam-Macam Perkalian Vektor

Operasi vektor tidak spesialuntuk terbatas pada penjumlahan dan pengurangan vektor saja operasi perkalian juga berlaku untuk vektor. Lalu apa saja jenis-jenis perkalian vektor itu? Dalam fisika, perkalian vektor dibedakan menjadi 3 macam yaitu:

1. Perkalian Vektor dengan Skalar

2. Perkalian Titik (Dot Product)

3. Perkalian Silang (Cross Product)

Ketiga jenis perkalian tersebut mempunyai aturan, rumus serta sifat yang tidak sama-beda. Untuk memahami terkena tiga macam perkalian vektor tersebut, lanjutkan menyimak klarifikasi dibawah ini.

1. Perkalian Vektor dengan Skalar

Untuk memahami terkena perkalian vektor, kita ambil pola ibarat diberikut

Seorang anak sedang mengendarai sepeda motor dengan kecepatan 50 km/jam ke arah utara. Maka setelah beberapa waktu, anak dan motor tersebut sudah mengalami perpindahan. Kita tahu bahwa kecepatan yaitu perpindahan per selang waktu. Dari pengertian ini maka besar perpindahan yang dialami si anak sanggup dihitung dengan rumus atau persamaan sebagai diberikut:

s = vt

Keterangan:
s	= perpindahan (m)
v	= kecepatan (m/s)
t	= selang waktu (s)

kita tahu bahwa kecepatan yaitu bemasukan vektor sedangkan waktu yaitu bemasukan skalar. Berdasarkan persamaan di atas, perkalian kecepatan dengan waktu menghasilkan perpindahan yang termasuk besarn vektor. Dari hasil ini sanggup disimpulkan bahwa:

Hasil perkalian antara vektor dan skalar yaitu vektor.

Secara matematis, perkalian vektor dengan skalar mempunyai arti yang sederhana. Misalkan hasil kali antara skalar k dengan sebuah vektor A menghasilkan vektor B, maka hukum perkalian tersebut dituliskan sebagai diberikut:

B = kA

Dari persamaan tersebut, maka besar vektor B besarnya yaitu besar k dikalikan dengan besar A. Dan arah vektor B searah dengan vektor A jika k positif dan berlawanan arah dengan A jika k negatif.

Perkalian Vektor Satuan dengan Skalar

Aturan di atas juga berlaku untuk perkalian vektor satuan dengan skalar baik secara dua dimensi maupun tiga dimensi. Aturannya yaitu sebagai diberikut:

2 Dimensi		3 Dimensi
r	= xi + yj	r	= xi + yj + zk
kr	= kxi + kyj	kr	= kxi + kyj + kzk

Sifat Perkalian Vektor dan Skalar

Perkalian antara vektor dengan skalar mempunyai sifat distributif yaitu:

k(A + B) = kA + kB

misal Soal Perkalian Vektor dan Skalar dan Pembahasannya

Diketahui suatu vektor A digambarkan sebagai diberikut

Gambarlah vektor B, jika:

B = 2A; B = -2A; B = ½A; B = -½A

Jawab

B = 2A, berarti panjang vektor menjadi dua kali panjang tiruanla dan arahnya sama dengan arah vektor A	B = - 2A, berarti panjang vektor menjadi dua kali panjang tiruanla tetapi arahnya berlawanan dengan arah vektor A
B = ½A, berarti panjang vektor menjadi setengah kali panjang tiruanla dan arahnya sama dengan arah vektor A	B = - ½A, berarti panjang vektor menjadi setengah kali panjang tiruanla tetapi arahnya berlawanan dengan arah vektor A

2. Perkalian Titik (Dot Product)

Untuk memahami tentang perkalian titik, perhatikan gambar di bawah ini

Perkalian titik dua buah vektor antara A dan B atau dituliskan A . B didefinisikan sebagai perkalian antara vektor A dengan komponen vektor B yang searah vektor A.pada gambar di  atas, komponen vektor B yang searah vektor A adalah B cos α. Dari definisi tersebut, secara matematis perkalian titik antara vektor A dan B dapat dituliskan dengan rumus atau persamaan sebagai diberikut:

A . B = AB cos α = |A||B| cos α

Keterangan:
α	= sudut yang dibuat oleh vektor A dan B dengan 0o ≤ α ≤ 180o
A	= |A| besar vektor A
B	= |B| besar vektor B

Dari definisi perkalian titik tersebut sanggup disimpulkan bahwa:

Hasil perkalian titik dua buah vektor yaitu skalar.

Simbol dari perkalian titik yaitu (.) yang sering disebut perkalian titik (dot product). Karena hasil perkalian yaitu skalar maka perkalian titik disebut juga dengan scalar product.

Dalam perkalian titik, ada 3 poin penting yang perlu diingat, yaitu:

1.	Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus (α = 90o) maka
	A . B = 0 → cos 90o = 0
2.	Jika kedua vektor A dan B searah (α = 0o) maka
	A . B = AB → cos 0o = 1
3.	Jika kedua vektor A dan B berlawanan searah (α = 180o) maka
	A . B = - AB → cos 180o = -1

Perkalian Titik Pada Vektor Satuan

Perhatikan gambar di atas, vektor satuan i, j, dan k ialah vektor yang saling tegak lurus satu sama lain dengan kata lain besar α = 90o dan nilai ketiga vektor tersebut yaitu 1. Maka hasil perkalian titik pada vektor satuan tersebut yaitu sebagai diberikut:

i . i = j . j = k . k = 1.1 cos 0o = 1 (berhimpit)

i . j = i . k = j . k = 1.1 cos 90o = 0 (tegak lurus)

melaluiataubersamaini memakai hasil perkalian titik pada vektor satuan di atas, kita sanggup mencari hasil perkalian titik suatu vektor yang ditetapkan dalam vektor satuan. misalkan terdapat dua vektor diberikut ini:

A = Axi + Ayj + Azk

B = Bxi + Byj + Bzk

Hasil perkalian titik antara vektor A dan B adalah sebagai diberikut:

A . B	=	(Axi + Ayj + Azk) . (Bxi + Byj + Bzk)
A . B	=	Axi . Bxi + Axi .Byj + Axi . Bzk + Ayj . Bxi + Ayj .Byj + Ayj . Bzk + Azk . Bxi + Azk .Byj + Azk . Bzk
		→  alasannya i . j = i . k = j . k = 1.1 cos 90o = 0 maka
A . B	=	Axi . Bxi + 0 + 0 + 0 + Ayj .Byj + 0 + 0 + 0 + Azk . Bzk
A . B	=	Axi . Bxi + Ayj . Byj + Azk . Bzk
		→  alasannya i . i = j . j = k . k = 1.1 cos 0o = 1 maka
A . B	=	AxBx + AyBy + AzBz

Sifat Perkalian Titik

Perkalian titik mempunyai sifat distributif, yaitu:

A.(B + C) = A.B + A.C

Dan juga mempunyai sifat komutatif, yaitu:

A.B = B.A

misal Soal Perkalian Titik dan Pembahasannya

Sebuah vektor gaya dan perpindahan mempunya persamaan F = (2i + 3j + 5k) N dans = (4i + 2j – k) m. tentukan perjuangan yang dilakukan oleh gaya!

Jawab:

Diketahui:

F = (2i + 3j + 5k)

s = (4i + 2j – k)

ditanya: perjuangan (W)

Usaha ialah hasil perkalian titik antara gaya dengan perpindahan, jadi

W = F . s

W = (2i + 3j + 5k) . (4i + 2j – k)

W = (2)(4) + (3)(2) + (5)(-1)

W = 8 + 6 – 5

W = 9

Jadi perjuangan yang dilakukan oleh gaya tersebut yaitu 9 joule.

3. Perkalian Silang (Cross Product)

Untuk memahami tentang perkalian silang, perhatikan gambar di bawah ini

Perkalian silang dua buah vektor antara A dan B atau dituliskan A x B didefinisikan sebagai perkalian antara vektor A dengan komponen vektor B yang tegak lurus vektor A. pada gambar di atas, komponen vektor B yang tegak lurus vektor A adalah B sin α. Dari definisi tersebut, secara matematis perkalian silang antara vektor A dan B dapat dituliskan dengan rumus atau persamaan sebagai diberikut:

	A x B	= C
	|A x B|	= AB sin α

Keterangan:
α	= sudut yang dibuat oleh vektor A dan B dengan 0o ≤ α ≤ 180o
C	= vektor lain hasil perkalian silang antara vektor A dan B
|A x B|	= besar vektor hasil perkalian silang antara vektor A dan B

Dari definisi perkalian silang tersebut sanggup disimpulkan bahwa:

Hasil perkalian silang dua buah vektor yaitu sebuah vektor yang arahnya tegak lurus pada bidang yang dibuat oleh A da B.

Untuk lebih memahami tentang arah vektor hasil perkalian silang perhatikan tabel klarifikasi di bawah ini

Arah Hasil Perkalian Silang A x B	Arah Hasil Perkalian Silang B x A
Arah dari vektor C tegak lurus dengan bidang yang dibuat oleh vektor A dan B. Untuk mengatakan arah vektor C, kita gunakan kaidah asisten dimana ujung vektor A menuju ujung vektor B searah dengan  lipatan empat jari sedangkan jempol mengatakan arah vektor C. Pada gambar di atas, vektor C hasil perkalian silang A x B arahnya menuju ke atas tidak menembus bidang.	Sama halnya dengan arah hasil perkalian silang A x B. Kita juga sanggup memakai kaidah tangan kanan, namun bedanya genggaman tangan dibalik, dimana ujung vektor B menuju ujung vektor A searah dengan lipatan empat jari sedangkan jempol mengatakan arah vektor C. Pada gambar di atas, vektor C hasil perkalian silang B x A arahnya menuju ke bawah menembus bidang.

Dalam perkalian silang, ada 5 poin penting yang perlu diingat, yaitu:

1.	Pada perkalian silang tidak berlaku sifat komutatif sehingga
	A x B ≠ B x A
2.	Pada perkalian silang berlaku sifat anti komutatif yaitu
	A x B = - B  x A
3.	Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus (α = 90o) maka
	|A x B| = AB → sin  90o = 1
4.	Jika kedua vektor A dan B searah (α = 0o) maka
	|A x B| = 0 → sin  0o = 0
5.	Jika kedua vektor A dan B berlawanan searah (α= 180o) maka
	|A x B| = 0 → sin  180o = 0

Perkalian Silang Pada Vektor Satuan

vektor satuan i, j, dan k masing-masing bernilai 1. Hasil perkalian silang pada vektor satuan yang sama adalah sebagai diberikut:

i x i = 1.1 sin 0o = 0

j x j = 1.1 sin 0o = 0

k x k = 1.1 sin 0o = 0

Untuk hasil perkalian silang pada vektor satuan yang tidak sama kita gunakan siklus diberikut:

melaluiataubersamaini memakai hasil perkalian silang pada vektor satuan dan juga siklus di atas, kita sanggup mencari hasil perkalian silang suatu vektor yang ditetapkan dalam vektor satuan. misalkan terdapat dua vektor diberikut ini:

A = Axi + Ayj + Azk

B = Bxi + Byj + Bzk

Hasil perkalian silang antara vektor A dan B adalah sebagai diberikut:

A x B	=	(Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)
A x B	=	Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk + Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
		→  alasannya i x i = j x j = j x k = 1x1 sin 0o = 0 maka
A x B	=	0 + Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + 0 + Ayj x Bzk + Azk x Bxi +Azk x Byj + 0
A x B	=	Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + Ayj x Bzk + Azk x Bxi + Azk x Byj
		→  dengan memakai siklus perkalian silang maka
A x B	=	AxByk – AxBzj – AyBxk­ + AyBzi + AzBxj – AzByi
A x B	=	(AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k­

Selain memakai siklus perkalian silang di atas, untuk mempergampang mengingat rumus kita sanggup menggunakan metode determinan seperti diberikut ini:

A x B	=	i AyBz + j AzBx + k AxBy – k AyBx – i AzBy – j AxBz
A x B	=	(AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k­

Sifat Perkalian Silang

Perkalian silang mempunyai sifat antikomutatif, yaitu

A × B ≠ B × A

Perkalian silang mempunyai sifat asosiatif, yaitu

k(A × B) = (kA) × B = A × (kB)

Dan terakhir, perkalian silang mempunyai sifat distributif, yaiut

A × (B + C) = (A × B) + (A × C)

(A + B) × C = (A × C) + (B × C)

 

misal Soal Perkalian Silang dan Pembahasannya

Sebuah gaya dengan persamaan F = (i + 2j – k) N bekerja pada daun pintu. Jika dilihat dari sebuah engsel, gaya tersebut bekerja pada vektor posisi r = (0,8i + 0,2j) m. Tentukan persamaan momen gaya yang ditimbulkan gaya tersebut.

Jawab:

Diketahui:

F = (i + 2j – k) N

r = (0,8i + 0,2j) m

Ditanyakan : momen gaya (τ)

Momen gaya ialah hasil perkalian silang antara vektor posisi dengan gaya. Jadi:

τ = r x F

τ = (0,8i + 0,2j)  x (i + 2j – k)

τ = (0,8)(1)(i x i) + (0,8)(2)(i x j) + (0,8)(-1)(i x k) + (0,2)(1)(j x i) + (0,2)(2)(j x j) + (0,2)(-1)(j x k)

τ = 0 + 1,6k – 0,8(-j) + 0,2(-k) + 0 – 0,2i

τ = -0,2i + 0,8j + 1,4k

jadi, persamaan momen gaya yang ditimbulkan gaya tersebut adalah τ = (-0,2i + 0,8j+ 1,4k) Nm.

Demikianlah artikel tentang pengertian, sifat, rumus, hukum dan pola soal beserta pembahasannya terkait dengan perkalian vektor dengan skalar, perkalian titik dan perkalian silang. Semoga sanggup bermanfaa untuk Anda. Terimakasih atas kunjungannya dan hingga jumpa di artikel diberikutnya.

Sumber https://www.fisikabc.com/

Share :